Pregunta 3 · Equacions logarítmiques
Quatre equacions logarítmiques amb diferents bases; cal aplicar la definició i les propietats del logaritme i comprovar el domini.
Puntuació màxima · 4 puntsResol les equacions següents (cadascuna val 1 punt).
- $\log_{5}(2x-1) = 1$ 1 p
- $\log(x^{2} - 5x + 6) = \log(x - 2)$ 1 p
- $\log_{2}(x^{2} - 5) = 2$ 1 p
- $\log(x^{2} - 9) - \log(x - 3) = 1$ 1 p
Correcció pas a pas
Idea clau: per definició, $\log_{a}(b) = c \;\Longleftrightarrow\; a^{c} = b$. I si tenim el mateix logaritme als dos costats ($\log A = \log B$), llavors $A = B$. Sempre verifiquem que les solucions estiguin dins del domini (els arguments dels logaritmes han de ser positius).
a) $\log_{5}(2x - 1) = 1$
Per definició, $2x - 1 = 5^{1} = 5$, així $x = 3$. Domini: $2x-1>0 \Rightarrow x > 1/2$. ✓
b) $\log(x^{2} - 5x + 6) = \log(x - 2)$
Mateix logaritme als dos costats, així $x^{2} - 5x + 6 = x - 2$:
Domini: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$. Per tant $x = 2$ es descarta i $x = 4$ és vàlid.
Verificació: $\log(16 - 20 + 6) = \log 2$ i $\log(4 - 2) = \log 2$ ✓.
c) $\log_{2}(x^{2} - 5) = 2$
Per definició, $x^{2} - 5 = 2^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
Domini: $x^{2} - 5 > 0 \Rightarrow |x| > \sqrt{5}$. Tots dos valors el compleixen.
d) $\log(x^{2} - 9) - \log(x - 3) = 1$
Apliquem la propietat del quocient i recordem que $x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)$:
Domini: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$. ✓ · Verificació: $\log(40) - \log(4) = \log(10) = 1$ ✓.