Pregunta 1 · Operacions amb potències i arrels
Simplificacions, expressió en base $2$ i racionalització de denominador.
Puntuació màxima · 4 puntsSimplifica i/o expressa en forma de potència en base $2$.
- Simplifica $\left(\dfrac{2^{4}\,x^{-2}\,y^{3}}{2\,x^{2}\,y^{-2}}\right)^{3}$ 1 p
- Expressa en forma de potència en base $2$: $\sqrt[5]{16} \cdot 2^{3/2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$ 1 p
- Racionalitza i simplifica $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt[3]{25}}$ 1 p
- Expressa com una potència de base $2$: $\sqrt[3]{\,2\,\sqrt{8\,\sqrt[5]{16}}\,}$ 1 p
Correcció pas a pas
Idea clau: tot va molt més ràpid si comencem per convertir-ho tot a potències amb base prima ($2$, $3$, $5$, …) i exponent fraccionari, sumant/restant exponents amb les regles habituals: $a^{m}/a^{n} = a^{m-n}$, $(a^{m})^{n} = a^{mn}$, $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}$.
a) $\left(\dfrac{2^{4}\,x^{-2}\,y^{3}}{2\,x^{2}\,y^{-2}}\right)^{3}$
Simplifiquem dins del parèntesi restant exponents:
Elevem al cub:
b) $\sqrt[5]{16} \cdot 2^{3/2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$
Tot en base $2$: $\sqrt[5]{16} = (2^{4})^{1/5} = 2^{4/5}$ i $\sqrt[3]{4} = (2^{2})^{1/3} = 2^{2/3}$, així que $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} = 2^{-2/3}$.
Sumem amb denominador comú $30$: $\dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{30}$, $\dfrac{3}{2} = \dfrac{45}{30}$, $-\dfrac{2}{3} = -\dfrac{20}{30}$. Total: $\dfrac{24 + 45 - 20}{30} = \dfrac{49}{30}$.
c) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt[3]{25}}$
$\sqrt{5} = 5^{1/2}$ i $\sqrt[3]{25} = (5^{2})^{1/3} = 5^{2/3}$.
Racionalitzem multiplicant per $\sqrt[6]{5^{5}}/\sqrt[6]{5^{5}}$:
d) $\sqrt[3]{\,2\,\sqrt{8\,\sqrt[5]{16}}\,}$
Treballem de dins cap a fora:
- $\sqrt[5]{16} = 2^{4/5}$.
- $8 \cdot \sqrt[5]{16} = 2^{3} \cdot 2^{4/5} = 2^{3 + 4/5} = 2^{19/5}$.
- $\sqrt{8 \sqrt[5]{16}} = \sqrt{2^{19/5}} = 2^{19/10}$.
- $2 \cdot 2^{19/10} = 2^{1 + 19/10} = 2^{29/10}$.
- $\sqrt[3]{2^{29/10}} = 2^{29/30}$.