Pregunta 6 · Probabilitat condicionada, independència i distribució binomial
Probabilitat composta i condicionada, comprovació numèrica de la independència de successos i modelització amb una distribució binomial.
Puntuació màxima · 2 puntsEn una classe de 30 estudiants, 18 han aprovat matemàtiques i 15 han aprovat anglès. Dels que han aprovat matemàtiques, 10 també han aprovat anglès. S'escull un estudiant a l'atzar.
Per a l'apartat d): en un examen tipus test de 10 preguntes, cada pregunta té 4 opcions i una sola és correcta. Un estudiant contesta totes les respostes a l'atzar.
- Calcula la probabilitat que hagi aprovat matemàtiques i anglès. 0,5 p
- Calcula la probabilitat que hagi aprovat anglès sabent que ha aprovat matemàtiques (probabilitat condicionada). 0,5 p
- Són independents els successos «aprovar matemàtiques» i «aprovar anglès»? Justifica-ho numèricament. 0,5 p
- Modela la situació com una distribució binomial $B(n,p)$. Calcula la probabilitat d'encertar exactament 3 preguntes, la probabilitat d'encertar com a mínim 2, i el nombre esperat d'encerts. 0,5 p
Correcció pas a pas
Idea clau: dos successos són independents si $P(M\cap A)=P(M)\cdot P(A)$. La distribució binomial $B(n,p)$ modela $n$ proves independents amb probabilitat d'èxit $p$ constant; la seva esperança és $E(X)=np$.
a) Probabilitat composta
b) Probabilitat condicionada
c) Independència
Com que $P(M\cap A)=\tfrac{1}{3}\approx 0{,}333\neq 0{,}300=P(M)\cdot P(A)$:
d) Distribució binomial
Model: $X\sim B\!\left(10,\tfrac{1}{4}\right)$, amb $n=10$ preguntes i $p=\tfrac{1}{4}$ (1 opció correcta de 4).