Pregunta 5 · Diagrama d'arbre, probabilitat total i teorema de Bayes
Construcció d'un diagrama d'arbre, càlcul de la probabilitat total i aplicació del teorema de Bayes en un context logístic.
Puntuació màxima · 2 puntsUna empresa de logística té tres centres de distribució: A, B i C, que gestionen el 40 %, el 35 % i el 25 % de les comandes, respectivament. La probabilitat que una comanda arribi amb retard és del 5 % si prové del centre A, del 3 % si prové del centre B i del 8 % si prové del centre C.
- Dibuixa el diagrama d'arbre complet amb totes les probabilitats indicades. 0,5 p
- Calcula la probabilitat que una comanda triada a l'atzar arribi amb retard. 0,75 p
- Sabent que una comanda ha arribat amb retard, calcula la probabilitat que provingui del centre C. 0,75 p
Correcció pas a pas
Idea clau: el teorema de la probabilitat total suma les branques que porten al succés «retard»; el teorema de Bayes «inverteix» l'arbre per trobar la probabilitat de la causa (centre C) un cop conegut l'efecte (retard).
a) Diagrama d'arbre
Primer nivell: el centre d'origen; segon nivell: si la comanda arriba o no amb retard ($R$). Les probabilitats conjuntes són el producte de les branques:
| Centre | $P(\text{centre})$ | Resultat | $P(\text{res}\mid\text{centre})$ | $P$ conjunta |
|---|---|---|---|---|
| A | 0,40 | Retard | 0,05 | 0,0200 |
| A | 0,40 | No retard | 0,95 | 0,3800 |
| B | 0,35 | Retard | 0,03 | 0,0105 |
| B | 0,35 | No retard | 0,97 | 0,3395 |
| C | 0,25 | Retard | 0,08 | 0,0200 |
| C | 0,25 | No retard | 0,92 | 0,2300 |