Pregunta 4 · Derivades: monotonia, extrems i optimització
Derivada d'un polinomi, punts crítics en un interval tancat, estudi del signe, classificació d'extrems i interpretació d'un model econòmic.
Puntuació màxima · 2 puntsEl benefici mensual (en milers d'euros) d'una empresa en funció del preu unitari de venda $x$ (en euros, amb $x \in [1,10]$) ve donat per $B(x) = -2x^{3} + 15x^{2} - 24x + 7$.
- Calcula $B'(x)$ i troba els punts crítics de $B(x)$ en l'interval $[1,10]$. 0,5 p
- Estudia el signe de $B'(x)$ i determina els intervals de creixement i decreixement de $B(x)$ en $[1,10]$. 0,5 p
- Classifica cada punt crític com a màxim o mínim local. Indica el valor màxim de benefici i el preu al qual s'assoleix. 0,5 p
- Calcula el preu unitari que dona uns beneficis mensuals de 7000 €. 0,5 p
Correcció pas a pas
Idea clau: els extrems d'una funció contínua en un interval tancat $[a,b]$ es busquen entre els punts on $B'(x)=0$ i els extrems de l'interval. El signe de $B'$ a cada tram indica creixement ($B'>0$) o decreixement ($B'<0$).
a) Derivada i punts crítics
$B'(x)=0\Rightarrow x=1$ (extrem de l'interval) i $x=4$ (interior).
b) Signe de $B'$ i monotonia
A $(1,4)$: $B'(x)=-6(x-1)(x-4)=-6(+)(-)>0\Rightarrow B$ creixent.
A $(4,10)$, per exemple $x=5$: $B'(5)=-6(4)(1)=-24<0\Rightarrow B$ decreixent.
c) Classificació i màxim
A $x=4$, $B$ passa de creixent a decreixent $\Rightarrow$ màxim local (i absolut a $[1,10]$):
d) Preu per a un benefici de 7000 €
Com que $B$ està en milers d'euros, $7000$ € $=7$:
$x=0$ queda fora de $[1,10]$. Resolem $2x^{2}-15x+24=0$: