Pregunta 3 · Funcions: domini, composició, inversa i vèrtex

Càlcul de dominis, composició de funcions, funció inversa amb el seu domini, antiimatges i vèrtex d'una paràbola.

Puntuació màxima · 2 punts

Considera les funcions $f(x) = \sqrt{x+3}$, $\quad g(x) = \dfrac{2x-1}{x+2}$ $\quad$ i $\quad h(x) = x^{2} + x - 2$.

Calcula el domini de $f$, de $g$ i de $(f \circ g)$. Justifica tots els casos. 0,5 p
Calcula $(f \circ g)$ i $(g \circ f)$. 0,5 p
Calcula la funció inversa $f^{-1}(x)$ i $g^{-1}(x)$. Indica el domini de cada inversa. 0,5 p
Troba totes les antiimatges de $-2$ per la funció $h(x)$. Troba el vèrtex de $h(x)$. 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc D Funcions elementals Paràbola

Correcció pas a pas

Idea clau: el domini d'una arrel exigeix radicand $\ge 0$ i el d'una fracció, denominador $\neq 0$. Per a $(f\circ g)$ cal imposar alhora el domini de $g$ i que la imatge de $g$ estigui dins del domini de $f$.

a) Dominis

\text{Dom}(f):\ x+3\ge 0\ \Rightarrow\ \text{Dom}(f)=[-3,+\infty)

\text{Dom}(g):\ x+2\neq 0\ \Rightarrow\ \text{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}

Per a $(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{\dfrac{2x-1}{x+2}+3}=\sqrt{\dfrac{5x+5}{x+2}}=\sqrt{\dfrac{5(x+1)}{x+2}}$, cal $x\neq -2$ i $\dfrac{5(x+1)}{x+2}\ge 0$. Estudiant el signe (numerador $\ge 0$ per $x\ge -1$; denominador $>0$ per $x>-2$):

$\text{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-2)\cup[-1,+\infty)$

b) Composicions

(f\circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{5(x+1)}{x+2}},\qquad \text{Dom}=(-\infty,-2)\cup[-1,+\infty)

(g\circ f)(x)=g(\sqrt{x+3})=\dfrac{2\sqrt{x+3}-1}{\sqrt{x+3}+2},\qquad \text{Dom}=[-3,+\infty)

$(f\circ g)\neq(g\circ f)$: la composició no és commutativa.

c) Funcions inverses

Per a $f$: $y=\sqrt{x+3}\Rightarrow y^{2}=x+3\Rightarrow x=y^{2}-3$:

f^{-1}(x)=x^{2}-3,\qquad \text{Dom}(f^{-1})=[0,+\infty)

Per a $g$: $y=\dfrac{2x-1}{x+2}\Rightarrow y(x+2)=2x-1\Rightarrow x(y-2)=-1-2y$:

g^{-1}(x)=\dfrac{-2x-1}{x-2},\qquad \text{Dom}(g^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{2\}

$f^{-1}(x)=x^{2}-3$ (amb $\text{Dom}=[0,\infty)$) i $g^{-1}(x)=\dfrac{-2x-1}{x-2}$ (amb $\text{Dom}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$).

d) Antiimatges de $-2$ i vèrtex de $h$

h(x)=-2\ \Rightarrow\ x^{2}+x-2=-2\ \Rightarrow\ x^{2}+x=0\ \Rightarrow\ x(x+1)=0

Antiimatges: $x=0$ i $x=-1$. El vèrtex:

x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2},\qquad h\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{9}{4}

Antiimatges de $-2$: $x=0$ i $x=-1$. Vèrtex: $V=\left(-\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{9}{4}\right)$.