Pregunta 2 · Equacions i sistemes

Equacions logarítmiques, irracionals, exponencials, amb valor absolut, bicuadrades i sistemes logarítmics, amb verificació de solucions.

Puntuació màxima · 2 punts

Resol 4 de les 6 equacions i sistemes. Verifica les solucions si és necessari. (A l'examen cada equació val 0,5 punts; aquí es deixen resoltes totes sis.)

$\log(x+3) + \log(x-1) = \log(2x+6)$ 0,25 p
$\sqrt{3x+4} - \sqrt{x} = 2$ 0,25 p
$4^{x+1} - 5\cdot 2^{x+1} + 4 = 0$ 0,25 p
$|x-5| = |2x+2|$ 0,25 p
$x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$ 0,5 p
Sistema: $\begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$ 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc D Equacions Sistemes

Correcció pas a pas

Idea clau: en equacions logarítmiques i irracionals cal verificar sempre les solucions, perquè en aplicar logaritmes o elevar al quadrat poden aparèixer solucions estranyes. En exponencials i bicuadrades, un canvi de variable ho redueix a una equació de segon grau.

a) Logarítmica

\log[(x+3)(x-1)]=\log(2x+6)\ \Rightarrow\ x^{2}+2x-3=2x+6\ \Rightarrow\ x^{2}=9\ \Rightarrow\ x=\pm 3

Verificació: $x=-3$ dóna $\log(0)$, que no existeix; $x=3$ és vàlida.

$x=3$

b) Irracional

\sqrt{3x+4}=2+\sqrt{x}\ \Rightarrow\ 3x+4=4+4\sqrt{x}+x\ \Rightarrow\ 2x=4\sqrt{x}\ \Rightarrow\ x=2\sqrt{x}

x^{2}=4x\ \Rightarrow\ x(x-4)=0\ \Rightarrow\ x=0\ \text{o}\ x=4

Verificació: $x=0$: $\sqrt{4}-0=2$ ✓; $x=4$: $\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$ ✓.

$x=0$ i $x=4$

c) Exponencial

Reescrivim $4^{x+1}=4\cdot(2^{x})^{2}$ i $2^{x+1}=2\cdot 2^{x}$, i fem el canvi $t=2^{x}$:

4t^{2}-10t+4=0\ \Rightarrow\ 2t^{2}-5t+2=0\ \Rightarrow\ t=\dfrac{5\pm 3}{4}\ \Rightarrow\ t=2\ \text{o}\ t=\tfrac{1}{2}

2^{x}=2\Rightarrow x=1,\qquad 2^{x}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=-1

$x=1$ i $x=-1$

d) Valor absolut

Plantegem els dos casos:

x-5=2x+2\ \Rightarrow\ x=-7;\qquad x-5=-(2x+2)\ \Rightarrow\ 3x=3\ \Rightarrow\ x=1

$x=-7$ i $x=1$

e) Bicuadrada

Canvi $t=x^{2}$:

t^{2}-10t+9=0\ \Rightarrow\ (t-9)(t-1)=0\ \Rightarrow\ t=9\ \text{o}\ t=1

x^{2}=9\Rightarrow x=\pm 3,\qquad x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1

$x=\pm 3$ i $x=\pm 1$

f) Sistema logarítmic

\log x+\log y=3\Rightarrow \log(xy)=3\Rightarrow xy=1000

\log x-\log y=1\Rightarrow \log\!\tfrac{x}{y}=1\Rightarrow \tfrac{x}{y}=10\Rightarrow x=10y

Substituint: $10y^{2}=1000\Rightarrow y^{2}=100\Rightarrow y=10$ (positiu, pel domini del logaritme).

$x=100,\ y=10$