Pregunta 3 · Equacions i sistemes — escollir 5 de 8

Vuit problemes diversos (radicals, exponencials, logarítmiques, valor absolut, biquadrada, racional i dos sistemes); resolts tots amb verificació.

Puntuació màxima · 5 punts

Resol, verificant les solucions, 5 de les equacions o sistemes següents. Aquí els tens tots resolts.

$\sqrt{x+5} + \sqrt{x-4} = 9$ 0,625 p
$3^{2x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$ 0,625 p
$2\log_{5}(x+2) - \log_{5}(2x-1) = 1 - \log_{5}(x-2)$ 0,625 p
$|3x-9| + 1 = |x|$ 0,625 p
$x^{4} + 36 = 13x^{2}$ 0,625 p
$\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} = 1 - \dfrac{2}{x^{2}-4}$ 0,625 p
Sistema: $\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 25 \\ y = x + 1 \end{cases}$ 0,625 p
Sistema: $\begin{cases} \log(x) + \log(y^{2}) = 4 \\ \log(x/y) = 1 \end{cases}$ 0,625 p

Bachillerato CCSS · Bloc D Equacions + sistemes

Correcció pas a pas

Idea clau: totes aquestes equacions es resolen aïllant la part "complicada" (radical, exponencial, logaritme, valor absolut o fracció), elevant al quadrat / canvi de variable / aplicant propietats de logaritmes / casos del valor absolut / mínim comú múltiple, i sempre verificant les solucions al final perquè aquestes manipulacions poden afegir solucions estranyes.

a) $\sqrt{x+5} + \sqrt{x-4} = 9$

Sigui $u = \sqrt{x+5}$, $v = \sqrt{x-4}$. Tenim $u+v = 9$ i $u^{2} - v^{2} = (x+5) - (x-4) = 9$.

Però $u^{2} - v^{2} = (u-v)(u+v) = (u-v) \cdot 9 = 9$, així que $u - v = 1$. Combinant amb $u+v=9$: $u=5$, $v=4$.

De $u^{2} = x+5 = 25$ surt $x = 20$. Verificació: $\sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$ ✓.

$x = 20$.

b) $3^{2x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$

Canvi de variable: $y = 3^{x} > 0$. L'equació esdevé $y^{2} - 10y + 9 = 0$ amb solucions $y = 9$ o $y = 1$.

$3^{x} = 9 \Rightarrow x = 2$, $3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$. Verificació: $3^{4} - 10 \cdot 3^{2} + 9 = 81 - 90 + 9 = 0$ ✓; $1 - 10 + 9 = 0$ ✓.

$x = 0$ i $x = 2$.

c) $2\log_{5}(x+2) - \log_{5}(2x-1) = 1 - \log_{5}(x-2)$

Domini: $x+2>0$, $2x-1>0$, $x-2>0$ → $x > 2$. Reagrupant logaritmes a un costat:

\log_{5}\!\left(\dfrac{(x+2)^{2}(x-2)}{2x-1}\right) = 1 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{(x+2)^{2}(x-2)}{2x-1} = 5.

Desenvolupant: $(x+2)^{2}(x-2) = (x^{2}+4x+4)(x-2) = x^{3} + 2x^{2} - 4x - 8$, i $5(2x-1) = 10x - 5$. Igualant:

x^{3} + 2x^{2} - 14x - 3 = 0.

Provant $x = 3$: $27 + 18 - 42 - 3 = 0$ ✓. Dividint per $(x-3)$ (Ruffini): $x^{3} + 2x^{2} - 14x - 3 = (x-3)(x^{2} + 5x + 1)$. L'altra factor té arrels $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$, ambdues fora del domini ($\approx -0{,}21$ i $\approx -4{,}79$).

Verificació de $x = 3$: $2\log_{5} 5 - \log_{5} 5 = 2 - 1 = 1$, i $1 - \log_{5} 1 = 1 - 0 = 1$ ✓.

$x = 3$.

d) $|3x - 9| + 1 = |x|$

Punts on canvien els signes: $3x-9 = 0 \Rightarrow x = 3$ i $x = 0$. Estudiem cada zona:

$x \ge 3$: $3x-9 \ge 0$ i $x \ge 0$. L'equació $\to (3x-9)+1 = x \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ ✓.
$0 \le x < 3$: $3x-9 < 0$, $x \ge 0$. $\to (9-3x)+1 = x \Rightarrow 10 = 4x \Rightarrow x = \tfrac{5}{2}$ ✓.
$x < 0$: $3x-9 < 0$, $x < 0$. $\to (9-3x)+1 = -x \Rightarrow 10 = 2x \Rightarrow x = 5$ ✗ (no és $<0$).

Verificació: $|3 \cdot 4 - 9|+1 = 3+1 = 4 = |4|$ ✓; $|3 \cdot \tfrac{5}{2} - 9|+1 = \tfrac{3}{2}+1 = \tfrac{5}{2} = |\tfrac{5}{2}|$ ✓.

$x = 4$ i $x = \tfrac{5}{2}$.

e) $x^{4} + 36 = 13x^{2}$

Equació biquadrada: $y = x^{2}$. $y^{2} - 13y + 36 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{13 \pm 5}{2} = 9$ o $4$.

$x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$, $x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

$x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.

f) $\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} = 1 - \dfrac{2}{x^{2}-4}$

Domini: $x \neq \pm 2$. Multipliquem per $x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)$:

x(x+2) + (x-2) = (x^{2} - 4) - 2.

Desenvolupem: $x^{2} + 2x + x - 2 = x^{2} - 6 \;\Longleftrightarrow\; x^{2} + 3x - 2 = x^{2} - 6 \;\Longleftrightarrow\; 3x = -4$.

Verificació: $x = -\tfrac{4}{3}$ no anul·la cap denominador.

$x = -\dfrac{4}{3}$.

g) Sistema: $x^{2} + y^{2} = 25$, $y = x + 1$

Substituïm $y = x+1$ a la primera: $x^{2} + (x+1)^{2} = 25 \Rightarrow 2x^{2} + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0$.

$x = \dfrac{-1 \pm 7}{2} = 3$ o $-4$. Llavors $y = x+1$ dona $4$ o $-3$.

Verificació: $9+16 = 25$ ✓ i $16+9 = 25$ ✓.

$(x, y) = (3, 4)$ i $(x, y) = (-4, -3)$.

h) Sistema: $\log(x) + \log(y^{2}) = 4$, $\log(x/y) = 1$

De la segona: $x/y = 10 \Rightarrow x = 10y$. De la primera: $\log(xy^{2}) = 4 \Rightarrow xy^{2} = 10^{4}$.

Substituïm $x = 10y$: $10y \cdot y^{2} = 10y^{3} = 10\,000 \Rightarrow y^{3} = 1\,000 \Rightarrow y = 10$. Llavors $x = 100$.

Verificació: $\log 100 + \log 100 = 2 + 2 = 4$ ✓; $\log(100/10) = \log 10 = 1$ ✓.

$(x, y) = (100, 10)$.