Pregunta 2 · Polinomis: factorització, MCD i MCM
Factorització de dues expressions, càlcul de MCD/MCM i una operació amb fraccions algebraiques.
Puntuació màxima · 2 puntsDonats els polinomis $p(x) = 3x^{3} - 27x$ i $q(x) = 2x^{2} - 10x + 12$.
- Factoritza els polinomis $p(x)$ i $q(x)$. 0,5 p
- Calcula el MCD i el MCM de $p(x)$ i $q(x)$. 0,5 p
- Calcula i simplifica $\dfrac{p(x)}{q(x)} - \dfrac{x^{2} + 2x}{x^{2} - 4}$. 1 p
Correcció pas a pas
Idea clau: traiem primer factor comú (el coeficient i les $x$) i després apliquem productes notables o Ruffini per acabar de factoritzar. Una vegada factoritzats, el MCD és el producte dels factors comuns amb la mínima multiplicitat i el MCM dels factors amb la màxima multiplicitat (incloses les constants amb $\gcd$ i $\mathrm{lcm}$).
a) Factorització
$p(x) = 3x^{3} - 27x = 3x(x^{2} - 9) = 3x(x-3)(x+3)$ (diferència de quadrats).
$q(x) = 2x^{2} - 10x + 12 = 2(x^{2} - 5x + 6) = 2(x-2)(x-3)$.
b) MCD i MCM
Factor comú: només $(x-3)$. Coeficients: $\gcd(3,2) = 1$, $\mathrm{lcm}(3,2) = 6$.
- $\mathrm{MCD}(p, q) = (x-3)$.
- $\mathrm{MCM}(p, q) = 6 x (x-3)(x+3)(x-2)$.
c) $\dfrac{p(x)}{q(x)} - \dfrac{x^{2} + 2x}{x^{2} - 4}$
Substituïm i simplifiquem cada fracció:
Comú denominador $2(x-2)$: