Pregunta 4 · Equacions polinòmiques i racionals
Resolució per Ruffini d'una equació de grau 5, biquadrada, una racional i una amb $x-3$ als denominadors.
Puntuació màxima · 4 puntsResol les equacions següents.
- $x^{5} + 3x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 4x + 12 = 0$ 1 p
- $x^{4} + 8 = 6x^{2}$ 1 p
- $\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{x^{2}-4}$ 1 p
- $\dfrac{9}{x-3} = \dfrac{3x}{x-3} + x$ 1 p
Correcció pas a pas
a) $x^{5} + 3x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 4x + 12 = 0$
Provem arrels enteres divisors del terme independent ($\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$). Trobem que $x = 1, -1, 2, -2, -3$ són arrels (el polinomi té grau 5).
Aplicant Ruffini successivament factoritzem:
b) $x^{4} + 8 = 6x^{2}$
Equació biquadrada: $x^{4} - 6x^{2} + 8 = 0$. Canvi de variable $y = x^{2}$:
$x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$, $x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
c) $\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{x^{2}-4}$
Domini: $x \neq \pm 2$. Multipliquem tot per $x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)$:
Domini: $x = \tfrac{1}{2} \neq \pm 2$ ✓.
d) $\dfrac{9}{x-3} = \dfrac{3x}{x-3} + x$
Domini: $x \neq 3$. Multipliquem per $(x-3)$:
Descartem $x = 3$ (no és al domini). Verificació de $x = -3$: $\tfrac{9}{-6} = -\tfrac{3}{2}$, i $\tfrac{-9}{-6} + (-3) = \tfrac{3}{2} - 3 = -\tfrac{3}{2}$ ✓.