Pregunta 1 · Operacions amb radicals i racionalització
Simplificacions amb potències, productes i quocients d'arrels, i racionalització d'un denominador.
Puntuació màxima · 2 puntsExpressa el resultat racionalitzat i/o simplificat.
- $\bigl(5^{3/2}\bigr)\,\bigl(25^{1/4}\bigr) : \sqrt[5]{125}$ 0,5 p
- $\sqrt[3]{\,4 \cdot \sqrt[5]{16} \cdot \sqrt{2}\,}$ 0,5 p
- $\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}}$ 0,5 p
- $\dfrac{\sqrt{15} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[4]{75}}$ 0,5 p
Correcció pas a pas
Idea clau: tot va més ràpid si passem cada radical a potència fraccionària amb base prima i sumem/restem exponents amb les regles habituals. Per racionalitzar, multipliquem pel conjugat (per binomis amb arrel quadrada) o per una potència que completi l'arrel del denominador (per arrels n-èssimes).
a) $\bigl(5^{3/2}\bigr)\,\bigl(25^{1/4}\bigr) : \sqrt[5]{125}$
Passem-ho tot a base $5$: $25^{1/4} = (5^{2})^{1/4} = 5^{1/2}$ i $\sqrt[5]{125} = (5^{3})^{1/5} = 5^{3/5}$.
$5^{7/5} = 5 \cdot 5^{2/5} = 5\,\sqrt[5]{25}$.
b) $\sqrt[3]{\,4 \cdot \sqrt[5]{16} \cdot \sqrt{2}\,}$
Tot en base $2$: $4 = 2^{2}$, $\sqrt[5]{16} = 2^{4/5}$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
I aleshores $\sqrt[3]{2^{33/10}} = 2^{33/30} = 2^{11/10}$.
c) $\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}}$
Multipliquem dalt i baix pel conjugat $1 - \sqrt{3}$:
d) $\dfrac{\sqrt{15} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[4]{75}}$
Descomposem en factors primers ($15 = 3 \cdot 5$, $45 = 3^{2} \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^{2}$) i ho passem tot a exponents fraccionaris:
Quocient — sumem els exponents de $3$ i de $5$ per separat:
Posant-ho sota una sola arrel: