1 Equacions exponencials
Resol les següents equacions exponencials. Recorda els quatre tipus: igualtat directa $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, productes/quocients amb base comuna, sumes/restes amb factor comú, i les "amagades" de 2n grau (canvi de variable $t = a^x$).
$5^{3x+1} = 1$
Mostrar solució
$1 = 5^{0}$, així que $3x+1 = 0$.
$5^{x+3} \cdot 5^{x} \cdot 5^{x-1} \cdot 5^{-x} = 25$
Mostrar solució
Sumem els exponents al costat esquerre: $(x+3)+x+(x-1)+(-x) = 2x+2$. Així $5^{2x+2}=5^{2}$, d'on $2x+2 = 2$.
$5^{x+3} + 5^{x} + 5^{x-1} = 131$
Interpretació: l'enunciat literal dóna $5^{x}\cdot\tfrac{631}{5}=131$ i una solució no entera. Tot apunta a una errata: amb $5^{x+2}$ surt el resultat net $x=1$ (mateix exercici que 1n).
Mostrar solució
Amb la versió interpretada $5^{x+2} + 5^{x} + 5^{x-1} = 131$, factor comú:
$5^{x}(25 + 1 + \tfrac{1}{5}) = 5^{x}\cdot \tfrac{131}{5} = 131 \;\Rightarrow\; 5^{x} = 5$.
$25^{x} + 5^{x+1} = 14$
Mostrar solució
$25^{x} = (5^{x})^{2}$ i $5^{x+1} = 5\cdot 5^{x}$. Canvi $t = 5^{x}$:
$t^{2} + 5t - 14 = 0 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{-5 \pm 9}{2} = 2$ o $-7$.
Descartem $t = -7$ (no pot ser negatiu). $5^{x} = 2$.
$4^{2x+1} - 3 \cdot 4^{x} - 10 = 0$
Mostrar solució
$4^{2x+1} = 4\cdot (4^{x})^{2}$. Canvi $t = 4^{x}$:
$4t^{2} - 3t - 10 = 0 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{3 \pm 13}{8} = 2$ o $-\tfrac{5}{4}$.
Descartem $-\tfrac{5}{4}$. $4^{x} = 2 \;\Leftrightarrow\; 2^{2x} = 2$.
$3^{x-1} + 3^{x} + 3^{x+1} = 13$
Mostrar solució
Factor comú $3^{x}$: $\;3^{x}(\tfrac{1}{3} + 1 + 3) = 3^{x}\cdot \tfrac{13}{3} = 13$.
$3^{x} = 3$.
$3^{x-1} \cdot 3^{x} \cdot 3^{x+1} = 243$
Mostrar solució
Sumem exponents: $\;3^{(x-1)+x+(x+1)} = 3^{3x} = 243 = 3^{5}$.
$4^{x} - 5 \cdot 2^{x+1} + 16 = 0$
Mostrar solució
$4^{x} = (2^{x})^{2}$ i $2^{x+1} = 2 \cdot 2^{x}$. Canvi $t = 2^{x}$:
$t^{2} - 10t + 16 = 0 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{10 \pm 6}{2} = 8$ o $2$.
$4^{x+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$
Mostrar solució
Posem-ho tot en base 2: $\;2^{2(x+1)} = 2^{-x} \;\Rightarrow\; 2x+2 = -x$.
$9^{x+1} - 2 \cdot 3^{x+3} + 81 = 0$
Mostrar solució
$9^{x+1} = 9\cdot (3^{x})^{2}$ i $3^{x+3} = 27 \cdot 3^{x}$. Canvi $t = 3^{x}$:
$9t^{2} - 54t + 81 = 0 \;\Leftrightarrow\; t^{2} - 6t + 9 = (t-3)^{2} = 0 \;\Rightarrow\; t = 3$.
$4^{x-1} + 4^{x-2} - 4^{x} = -11$
Mostrar solució
Factor comú $4^{x}$: $\;4^{x}\bigl(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{16} - 1\bigr) = 4^{x}\cdot \bigl(-\tfrac{11}{16}\bigr) = -11$.
$4^{x} = 16 = 4^{2}$.
$7^{2x} - 35 \cdot 7^{x-1} + 6 = 0$
Mostrar solució
$35 \cdot 7^{x-1} = 5 \cdot 7^{x}$. Canvi $t = 7^{x}$:
$t^{2} - 5t + 6 = 0 \;\Rightarrow\; t = 2$ o $t = 3$.
$5^{x+2} \cdot 5^{x-1} \cdot 5^{x} = 625$
Mostrar solució
$5^{(x+2)+(x-1)+x} = 5^{3x+1} = 625 = 5^{4} \;\Rightarrow\; 3x+1 = 4$.
$5^{x+2} + 5^{x-1} + 5^{x} = 131$
Mostrar solució
Factor comú $5^{x}$: $\;5^{x}\bigl(25 + \tfrac{1}{5} + 1\bigr) = 5^{x}\cdot \tfrac{131}{5} = 131 \;\Rightarrow\; 5^{x} = 5$.
$25^{x} - 2 \cdot 5^{x+1} = -21$
Mostrar solució
$25^{x} = (5^{x})^{2}$ i $2\cdot 5^{x+1} = 10\cdot 5^{x}$. Canvi $t = 5^{x}$:
$t^{2} - 10t + 21 = 0 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{10 \pm 4}{2} = 7$ o $3$.
$2^{x^{2} - 2x} = 0{,}5$
Mostrar solució
$0{,}5 = 2^{-1}$, així que $x^{2} - 2x = -1 \;\Leftrightarrow\; (x-1)^{2} = 0$.
$3^{x} + 2 \cdot 3^{x-1} + 5 \cdot 3^{x+2} = 140$
Mostrar solució
Factor comú $3^{x}$: $\;3^{x}\bigl(1 + \tfrac{2}{3} + 45\bigr) = 3^{x}\cdot \tfrac{140}{3} = 140 \;\Rightarrow\; 3^{x} = 3$.
$5^{2x} + 3 \cdot 5^{x+1} - 400 = 600$
Mostrar solució
$3\cdot 5^{x+1} = 15\cdot 5^{x}$ i agrupem: $5^{2x} + 15\cdot 5^{x} = 1000$. Canvi $t = 5^{x}$:
$t^{2} + 15t - 1000 = 0 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{-15 \pm 65}{2} = 25$ o $-40$.
Descartem $-40$. $5^{x} = 25 = 5^{2}$.
$2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x} + 2^{x+1} = 44$
Mostrar solució
Factor comú $2^{x}$: $\;2^{x}\bigl(\tfrac{1}{2} + 3 + 2\bigr) = 2^{x}\cdot \tfrac{11}{2} = 44 \;\Rightarrow\; 2^{x} = 8 = 2^{3}$.
$2^{x} + 2^{x+1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 960$
Interpretació: amb els exponents tal com surten al PDF, $2^{x}\cdot \tfrac{27}{8} = 960 \Rightarrow 2^{x} = \tfrac{2560}{9}$, no entera. Probable typo: amb $2^{x} + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = 960$ surt $x = 6$.
Mostrar solució
Amb la versió interpretada $2^{x} + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = 960$, factor comú:
$2^{x}(1 + 2 + 4 + 8) = 15 \cdot 2^{x} = 960 \;\Rightarrow\; 2^{x} = 64 = 2^{6}$.
$3^{x+1} = 9^{x-3}$
Mostrar solució
$9^{x-3} = 3^{2(x-3)} = 3^{2x-6}$. Igualant exponents: $x+1 = 2x - 6$.
$5^{x} + 5^{x+1} + 5^{x+2} = \dfrac{31}{5}$
Mostrar solució
Factor comú $5^{x}$: $\;5^{x}(1 + 5 + 25) = 31\cdot 5^{x} = \tfrac{31}{5} \;\Rightarrow\; 5^{x} = \tfrac{1}{5} = 5^{-1}$.
$1 - 7^{x+1} + 49^{x} = -9$
Mostrar solució
$49^{x} = (7^{x})^{2}$ i $7^{x+1} = 7\cdot 7^{x}$. Canvi $t = 7^{x}$:
$t^{2} - 7t + 1 = -9 \;\Leftrightarrow\; t^{2} - 7t + 10 = 0 \;\Rightarrow\; t = 5$ o $t = 2$.
$2^{x} \cdot 5^{x} = 100$
Mostrar solució
$2^{x}\cdot 5^{x} = (2\cdot 5)^{x} = 10^{x} = 100 = 10^{2}$.
2 Equacions amb logaritmes
Resol les següents equacions amb logaritmes. La idea sempre és arribar a $\log_a B = \log_a C \Rightarrow B = C$ (mateixa base als dos costats) o a $\log_a B = C \Rightarrow a^{C} = B$ (definició inversa). Cal verificar al final que cap argument quedi $\leq 0$.
$\log_{x} 64 = 3$
Mostrar solució
Per definició inversa: $x^{3} = 64 \Rightarrow x = \sqrt[3]{64}$.
$\log_{2} x + \log_{2}(x+3) = 2$
Mostrar solució
$\log_{2}[x(x+3)] = 2 \Rightarrow x(x+3) = 4 \Rightarrow x^{2} + 3x - 4 = (x+4)(x-1) = 0$.
Descartem $x = -4$ ($\log_{2}(-4)$ no definit).
$\log(2x-4) - \log(x+2) = 1$
Mostrar solució
$\log\dfrac{2x-4}{x+2} = 1 \Rightarrow 2x-4 = 10(x+2) \Rightarrow x = -3$.
Però $2(-3) - 4 = -10 < 0$ → $\log$ no definit.
$\log x + \log 50 = \log 1000$
Mostrar solució
$\log(50x) = \log 1000 \Rightarrow 50x = 1000$.
$\log x = 1 + \log(22 - x)$
Mostrar solució
$\log x - \log(22-x) = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{22-x} = 10 \Rightarrow x = 220 - 10x \Rightarrow 11x = 220$.
$2\log(x+1) - \log 2 = \log(x^{2} - 1)$
Mostrar solució
$\log\dfrac{(x+1)^{2}}{2} = \log[(x-1)(x+1)] \Rightarrow \dfrac{(x+1)^{2}}{2} = (x-1)(x+1)$.
Si $x+1 \neq 0$, simplifiquem: $\dfrac{x+1}{2} = x-1 \Rightarrow x+1 = 2x-2$.
$\log(3x+1) - \log(2x-3) = 1 - \log 5$
Mostrar solució
$\log\dfrac{5(3x+1)}{2x-3} = 1 \Rightarrow 5(3x+1) = 10(2x-3) \Rightarrow 15x+5 = 20x-30$.
$2\log(2x+1) + 2\log(3x-4) = 2$
Mostrar solució
$\log[(2x+1)(3x-4)] = 1 \Rightarrow (2x+1)(3x-4) = 10 \Rightarrow 6x^{2} - 5x - 14 = 0$.
$x = \dfrac{5 \pm 19}{12} = 2$ o $-\tfrac{7}{6}$. Descartem $-\tfrac{7}{6}$ ($2x+1 < 0$).
$\log(40x) - \log(5x-1) = 1$
Mostrar solució
$\dfrac{40x}{5x-1} = 10 \Rightarrow 40x = 50x - 10$.
$\log x + \log(x+5) = \log(9 + x)$
Mostrar solució
$x(x+5) = 9 + x \Rightarrow x^{2} + 4x - 9 = 0 \Rightarrow x = -2 \pm \sqrt{13}$.
Descartem $-2 - \sqrt{13} < 0$.
$2\log_{2} x = -\log_{2} 3 + \log_{2}(x+10)$
Mostrar solució
$\log_{2}(3x^{2}) = \log_{2}(x+10) \Rightarrow 3x^{2} - x - 10 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 \pm 11}{6} = 2$ o $-\tfrac{5}{3}$.
Descartem $-\tfrac{5}{3}$.
$\log_{x+3}(6x) = 2$
Mostrar solució
Per definició inversa: $(x+3)^{2} = 6x \Rightarrow x^{2} + 6x + 9 = 6x \Rightarrow x^{2} + 9 = 0$.
Discriminant negatiu — cap arrel real.
$\log(x+1) + \log(x-1) = \log 3$
Mostrar solució
$\log[(x+1)(x-1)] = \log 3 \Rightarrow x^{2} - 1 = 3 \Rightarrow x = \pm 2$.
Descartem $x = -2$ ($\log(-1)$ no definit).
$\log_{x}(5x - 6) = 2$
Mostrar solució
Per definició inversa: $x^{2} = 5x - 6 \Rightarrow x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$.
Tots dos compleixen $x > 0$ i $x \neq 1$. Verifiquem: $\log_{2} 4 = 2$ ✓, $\log_{3} 9 = 2$ ✓.
$\log x^{2} + \log 10 = 1 + \log(10x + 11)$
Mostrar solució
$\log(10 x^{2}) = \log[10(10x+11)] \Rightarrow 10x^{2} = 100x + 110 \Rightarrow x^{2} - 10x - 11 = (x-11)(x+1) = 0$.
$x = 11$: tots els arguments positius ✓. $x = -1$: $\log(1) = 0$ i $\log(1) = 0$, ambdós definits. Verifiquem: $0 + 1 = 1 + 0$ ✓.
$\log\sqrt{3x+10} - \log\sqrt{x+2} = 1 - \log 5$
Mostrar solució
$\log\sqrt{\dfrac{3x+10}{x+2}} = \log 10 - \log 5 = \log 2 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3x+10}{x+2}} = 2 \Rightarrow \dfrac{3x+10}{x+2} = 4$.
$3x+10 = 4x+8$.
$1 + \log_{2}(x-2) = \log_{2} x - \log_{2} 6$
Mostrar solució
$\log_{2}[2(x-2)] = \log_{2}\dfrac{x}{6} \Rightarrow 12(x-2) = x \Rightarrow 11x = 24$.
Verifiquem: $x = \tfrac{24}{11} > 2$, així $x-2 = \tfrac{2}{11} > 0$ ✓.
$\log_{x+5} 25 = 2$
Mostrar solució
$(x+5)^{2} = 25 \Rightarrow x+5 = \pm 5 \Rightarrow x = 0$ o $x = -10$.
$x = -10$: $x+5 = -5$ no és base vàlida. $x = 0$: $x+5 = 5$ ✓.
$\dfrac{\log_{3} 9^{x+1}}{x} = 1$
Mostrar solució
$\log_{3}(9^{x+1}) = \log_{3}(3^{2(x+1)}) = 2(x+1)$, així $\dfrac{2(x+1)}{x} = 1 \Rightarrow 2x+2 = x$.
$3\log x - \log 32 = \log\dfrac{x}{2}$
Mostrar solució
$\log\dfrac{x^{3}}{32} = \log\dfrac{x}{2} \Rightarrow \dfrac{x^{3}}{32} = \dfrac{x}{2} \Rightarrow x^{3} = 16x \Rightarrow x(x^{2}-16) = 0$.
$x = 0$ no vàlid; $x = -4$ no vàlid ($\log$ negatiu).
$2\log x + 1 = \log\dfrac{x}{2}$
Mostrar solució
$\log(10 x^{2}) = \log\dfrac{x}{2} \Rightarrow 10 x^{2} = \dfrac{x}{2} \Rightarrow 20 x^{2} - x = x(20x - 1) = 0$.
Descartem $x = 0$.
3 Sistemes d'exponencials i logaritmes
Resol els següents sistemes. El motor principal és la substitució; en els sistemes on totes dues equacions són logarítmiques, el canvi $\,t = \log x,\; z = \log y\,$ converteix el sistema en lineal.
$\begin{cases} \log x + \log y = 7 \\ \log x - \log y = 3 \end{cases}$
Mostrar solució
Sumant: $2\log x = 10 \Rightarrow \log x = 5$. Restant: $2\log y = 4 \Rightarrow \log y = 2$.
$\begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \\ \log(xy) = 4 \end{cases}$
Mostrar solució
La 2a és $\log x + \log y = 4$. Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} 2t + z = 5 \\ t + z = 4 \end{cases} \Rightarrow t = 1,\; z = 3.$
$\begin{cases} y - 4x = 0 \\ \log x + \log y = 4 \end{cases}$
Mostrar solució
De la 1a: $y = 4x$. A la 2a: $\log(4x^{2}) = 4 \Rightarrow 4x^{2} = 10\,000 \Rightarrow x^{2} = 2500$.
$x = \pm 50$. Descartem $x = -50$.
$\begin{cases} \log_{2} x + \log_{2} y = 7 \\ \log_{2} x^{2} - \log_{2} y = 2 \end{cases}$
Mostrar solució
Canvi $t = \log_{2} x$, $z = \log_{2} y$:
$\begin{cases} t + z = 7 \\ 2t - z = 2 \end{cases} \Rightarrow 3t = 9,\; t = 3,\; z = 4.$
$\begin{cases} \log x + 2\log y = 5 \\ 2\log x - 3\log y = -4 \end{cases}$
Mostrar solució
Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} t + 2z = 5 \\ 2t - 3z = -4 \end{cases}$. Multipliquem la 1a per 2 i restem: $7z = 14$, $z = 2$, $t = 1$.
$\begin{cases} \log(xy) = 4 \\ \log\!\dfrac{x}{y^{2}} = -2 \end{cases}$
Mostrar solució
Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} t + z = 4 \\ t - 2z = -2 \end{cases} \Rightarrow 3z = 6,\; z = 2,\; t = 2.$
$\begin{cases} x - 5y = -5 \\ \log x + \log y = 1 \end{cases}$
Mostrar solució
De la lineal: $x = 5y - 5$. A la log: $\log[(5y-5)y] = 1 \Rightarrow 5y^{2} - 5y - 10 = 0 \Rightarrow y^{2} - y - 2 = (y-2)(y+1) = 0$.
Descartem $y = -1$. $y = 2 \Rightarrow x = 5$.
$\begin{cases} \log x = \log(y - 1) + 1 \\ \log_{x}(2y + 6) = 1 \end{cases}$
Mostrar solució
1a: $\log x = \log[10(y-1)] \Rightarrow x = 10(y-1)$.
2a (definició inversa): $x^{1} = 2y + 6 \Rightarrow x = 2y + 6$.
Igualant: $10(y-1) = 2y + 6 \Rightarrow 8y = 16 \Rightarrow y = 2$, $x = 10$.
$\begin{cases} 2\log x - 3\log y = 5 \\ \log x^{3} + \log y = 2 \end{cases}$
Mostrar solució
Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} 2t - 3z = 5 \\ 3t + z = 2 \end{cases}$. Multipliquem la 2a per 3 i sumem amb la 1a: $11t = 11$, $t = 1$, $z = -1$.
$\begin{cases} \log x - 3\log y = -1 \\ 2\log x + \log y = 5 \end{cases}$
Mostrar solució
Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} t - 3z = -1 \\ 2t + z = 5 \end{cases}$. Multipliquem la 2a per 3 i sumem: $7t = 14$, $t = 2$, $z = 1$.
$\begin{cases} 3\log x + \log y^{3} = 6 \\ \log x - \log y^{2} = -1 \end{cases}$
Mostrar solució
1a: $3t + 3z = 6 \Rightarrow t + z = 2$. 2a: $t - 2z = -1$. Restant: $3z = 3$, $z = 1$, $t = 1$.
$\begin{cases} 2\log x - 3\log y = 7 \\ \log x + \log y = 1 \end{cases}$
Mostrar solució
Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} 2t - 3z = 7 \\ t + z = 1 \end{cases}$. Multipliquem la 2a per 3 i sumem: $5t = 10$, $t = 2$, $z = -1$.
$\begin{cases} \log x + 3\log y = 5 \\ \log\!\dfrac{x^{2}}{y} = 3 \end{cases}$
Mostrar solució
2a: $2\log x - \log y = 3$. Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:
$\begin{cases} t + 3z = 5 \\ 2t - z = 3 \end{cases} \Rightarrow z = 2t-3$. Substituint: $t + 3(2t-3) = 5 \Rightarrow 7t = 14$, $t = 2$, $z = 1$.
$\begin{cases} 2^{x} + 2^{y} = 12 \\ 2^{x} \cdot 2^{y} = 32 \end{cases}$
Mostrar solució
Tenim suma i producte de $\,t = 2^{x}\,$ i $\,z = 2^{y}$. Per Vieta, $t$ i $z$ són les arrels de $w^{2} - 12w + 32 = 0$:
$w = \dfrac{12 \pm 4}{2} = 8$ o $4 \Rightarrow \{t, z\} = \{8, 4\}$.
$2^{x} = 8 \Rightarrow x = 3,\; 2^{y} = 4 \Rightarrow y = 2$ — o a l'inrevés.