4. Equacions exponencials · Equacions i sistemes

Què és una equació exponencial?

Definició

Una equació exponencial és una equació en què la incògnita apareix a l'exponent d'una potència. Per exemple, $\;3^{x} = 81\;$ o $\;5^{x+2} - 5^{x} = 120$.

Atenció: no totes es resolen

No tota equació exponencial té una solució que es pugui trobar analíticament. Per exemple, $\;5^{x} + 2x = 10\;$ no es pot aïllar per a $x$ amb mètodes algebraics — caldria un mètode numèric.

Aquí veurem els quatre tipus d'equacions exponencials que sí sabem resoldre.

Tipus 1 $a^{x} = b$

Estratègia

Tenim dues opcions:

Factoritzar: si $b$ és una potència d'$a$ (o es pot escriure com a tal), igualem els exponents.
Logaritmes: en cas contrari, prenem logaritmes en base $a$ als dos costats.

Exemple — factoritzant

Resol $\;3^{x} = \dfrac{1}{9}$. Com que $\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$:

3^{x} = 3^{-2} \;\Longrightarrow\; x = -2.

Exemple — amb logaritmes

Resol $\;5^{x} = 7$. Com que $7$ no és potència de $5$:

\log_{5}(5^{x}) = \log_{5} 7 \;\Longrightarrow\; x = \log_{5} 7 \approx 1{,}209.

Tipus 2 Productes i quocients d'exponencials = nombre

Estratègia

Combinem totes les exponencials en una sola usant les propietats:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \qquad \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \qquad (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}.

Després apliquem els mètodes del Tipus 1.

Exemple

Resol $\;5^{x} \cdot 25^{x+1} : 5^{x-3} = 13$. Convertim $25 = 5^{2}$:

5^{x} \cdot \bigl(5^{2}\bigr)^{x+1} : 5^{x-3} = 5^{x} \cdot 5^{2x+2} : 5^{x-3} = 13.

5^{x+(2x+2)-(x-3)} = 5^{2x+5} = 13.

Apliquem $\log_{5}$ a banda i banda:

2x+5 = \log_{5} 13 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\log_{5} 13 - 5}{2}.

Tipus 3 Sumes i restes d'exponencials (mateixa base) = nombre

Estratègia

Quan tots els termes són potències de la mateixa base, traiem factor comú — fem servir l'exponent més petit (positiu o no) per a tots els termes — i així ens queda una equació del Tipus 1.

Exemple

Resol $\;3^{x} - 3^{x-1} + 3^{x+1} = 33$. Traiem factor comú $3^{x}$:

3^{x}\!\left(1 - \tfrac{1}{3} + 3\right) = 33 \;\Longrightarrow\; 3^{x} \cdot \dfrac{3-1+9}{3} = 33.

3^{x} \cdot \dfrac{11}{3} = 33 \;\Longrightarrow\; 3^{x} = 9 = 3^{2} \;\Longrightarrow\; x = 2.

Tipus 4 Equació de 2n grau amagada

Estratègia

Quan a l'equació apareixen $a^{2x}$ i $a^{x}$ (o equivalents), fem el canvi de variable $a^{x} = t$. L'equació es transforma en una de 2n grau, que ja sabem resoldre. Després desfem el canvi.

Compte: si trobem $t \le 0$, ho descartem — perquè $a^{x}$ sempre és positiu (per $a>0$).

Exemple

Resol $\;25^{x} - 5^{x+1} + 6 = 0$. Reescrivim usant $25^{x} = (5^{x})^{2}$ i $5^{x+1} = 5\cdot 5^{x}$:

(5^{x})^{2} - 5\cdot 5^{x} + 6 = 0.

Canvi $5^{x} = t$:

t^{2} - 5t + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}.

$t_{1} = 3$ i $t_{2} = 2$, tots dos positius. Desfem el canvi:

Si $t = 3$: $\;5^{x} = 3 \Longrightarrow x = \log_{5} 3$.
Si $t = 2$: $\;5^{x} = 2 \Longrightarrow x = \log_{5} 2$.

\boxed{\;x = \log_{5} 2 \quad\text{o}\quad x = \log_{5} 3.\;}

Exercicis

a Equació del Tipus 1

Resol $\;5^{3x+1} = 1$.

Reescrivim $1$ com a potència de $5$: $1 = 5^{0}$. Així:

5^{3x+1} = 5^{0} \;\Longrightarrow\; 3x+1 = 0.

\boxed{\;x = -\tfrac{1}{3}.\;}

Equivalentment, prenent $\log_{5}$ als dos costats: $\log_{5} 5^{3x+1} = \log_{5} 1 = 0$, que dóna la mateixa equació $3x+1=0$.

b Equació del Tipus 2

Resol $\;5^{x+3} \cdot 5^{x} \cdot 5^{x-1} \cdot 5^{-x} = 25$.

Combinem totes les exponencials sumant els exponents:

5^{(x+3)+x+(x-1)+(-x)} = 5^{2}.

L'exponent simplifica a $\;x+3+x+x-1-x = 2x+2$. Per tant:

5^{2x+2} = 5^{2} \;\Longrightarrow\; 2x+2 = 2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\,x = 0.\,}

c Equació del Tipus 3 (factor comú)

Resol $\;5^{x+3} + 5^{x} + 5^{x-1} = 131$.

Traiem factor comú $5^{x}$:

5^{x}\!\left(5^{3} + 1 + \tfrac{1}{5}\right) = 131.

5^{x}\!\left(125 + 1 + \tfrac{1}{5}\right) = 5^{x} \cdot \dfrac{625 + 5 + 1}{5} = 5^{x} \cdot \dfrac{631}{5} = 131.

5^{x} = \dfrac{131 \cdot 5}{631} = \dfrac{655}{631}.

Apliquem $\log_{5}$:

\boxed{\;x = \log_{5}\!\dfrac{655}{631} \approx 0{,}0237.\;}

Resposta una mica "lletja" — quan els coeficients no es retallen ni $b$ no és potència d'$a$, la solució es queda en forma de logaritme.

d Equació del Tipus 4 (canvi de variable)

Resol $\;25^{x} + 5^{x+1} = 14$.

Reescrivim: $\,25^{x} = (5^{x})^{2}\,$ i $\,5^{x+1} = 5 \cdot 5^{x}\,$. Així:

(5^{x})^{2} + 5 \cdot 5^{x} - 14 = 0.

Canvi $5^{x} = t$:

t^{2} + 5t - 14 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+56}}{2} = \dfrac{-5 \pm 9}{2}.

$t_{1} = 2$ i $t_{2} = -7$. Però $5^{x}$ és sempre positiu, així que descartem $t = -7$:

5^{x} = 2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\;x = \log_{5} 2 \approx 0{,}431.\;}

És la trampa típica del Tipus 4: el "canvi" porta a una 2n grau amb dues solucions, però només les positives es poden desfer.