Una caja, $A$, contiene 6 bolas blancas y 4 bolas azules; mientras que otra caja, $B$, contiene 5 bolas blancas y 2 azules. Se elige una caja al azar y se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que:
a) Las dos bolas sean blancas.
b) Las dos bolas sean del mismo color.
c) Las dos bolas sean de diferente color.
Mostrar resolución
Tenemos $P(A) = P(B) = \tfrac{1}{2}$. Sea $W = \{\text{2 bolas blancas}\}$ y $V = \{\text{2 bolas azules}\}$.
(a) Probabilidades condicionadas:
$P(W \mid A) = \tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac{1}{3}$, $P(W \mid B) = \tfrac{5}{7} \cdot \tfrac{4}{6} = \tfrac{20}{42} = \tfrac{10}{21}$
Por el teorema de la probabilidad total:
(b) Para el mismo color, sumamos $P(W) + P(V)$:
$P(V \mid A) = \tfrac{4}{10} \cdot \tfrac{3}{9} = \tfrac{12}{90} = \tfrac{2}{15}$, $P(V \mid B) = \tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{42} = \tfrac{1}{21}$
(c) Diferente color es el suceso contrario:
Se dispone de tres urnas: la urna $A$ contiene 2 bolas blancas y 4 bolas rojas; la urna $B$, 3 bolas blancas y 3 rojas, y la $C$, 1 blanca y 5 rojas. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? Y si lo es, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna $B$?
Mostrar resolución
Notación. Para evitar confusión entre el nombre de la urna y el color de la bola, usamos:
· $U_A$, $U_B$, $U_C$ = "elegir (al azar) la urna A, B o C".
· $B$ = "sacar una bola blanca", $V$ = "sacar una bola roja".
Probabilidades iniciales (la urna se elige al azar entre las tres):
$P(U_A) = P(U_B) = P(U_C) = \tfrac{1}{3}$
Probabilidades condicionadas (cada urna tiene 6 bolas):
| Urna | Composición | $P(B \mid U_x)$ | $P(V \mid U_x)$ |
|---|---|---|---|
| $U_A$ | 2 blancas + 4 rojas | $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ | $\tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}$ |
| $U_B$ | 3 blancas + 3 rojas | $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ |
| $U_C$ | 1 blanca + 5 rojas | $\tfrac{1}{6}$ | $\tfrac{5}{6}$ |
Diagrama de árbol. 3 ramas principales (urna) × 2 ramas (color) = 6 caminos:
Cálculo de las 6 intersecciones (regla del producto $P(U_x \cap \text{color}) = P(U_x) \cdot P(\text{color} \mid U_x)$):
① Probabilidad de que la bola sea blanca — teorema de la probabilidad total. Sumamos los tres caminos que acaban en $B$:
$P(B) = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}333$
② Probabilidad de que provenga de la urna B sabiendo que la bola es blanca — teorema de Bayes:
$P(U_B \mid B) = \tfrac{1}{2} = 50\%$
Verificación de coherencia. Las tres probabilidades a posteriori deben sumar 1:
$P(U_A \mid B) = \dfrac{1/9}{1/3} = \tfrac{1}{3}, \quad P(U_B \mid B) = \tfrac{1}{2}, \quad P(U_C \mid B) = \dfrac{1/18}{1/3} = \tfrac{1}{6}.$
Suma: $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2+3+1}{6} = \tfrac{6}{6} = 1$ ✓
Tiene sentido: la urna B es la que tiene mayor proporción de blancas (la mitad), por eso cuando vemos una blanca la "sospecha" hacia B se refuerza hasta el 50 %, mientras que en la urna A (con solo 1/3 de blancas) baja al 33,3 % y la urna C (con 1/6 de blancas) baja al 16,7 %.
Se lanza un dado y se observa el resultado. Si el número obtenido es par, se introduce una bola blanca en una urna que contiene 2 bolas blancas y 4 negras; y si es impar, se introduce una bola negra.
a) Calcula la probabilidad de extraer de la urna, sin reemplazamiento, dos bolas blancas si, al lanzar el dado, se ha obtenido un resultado par.
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer de la urna, sin reemplazamiento, dos bolas blancas una vez lanzado el dado?
Mostrar resolución
Sea $\Pi$ = "el dado da par" e $I$ = "el dado da impar". Tenemos $P(\Pi) = P(I) = \tfrac{1}{2}$.
Composición final de la urna según el resultado del dado:
- Si $\Pi$: 3 blancas + 4 negras = 7 bolas
- Si $I$: 2 blancas + 5 negras = 7 bolas
(a) $P(\text{2 blancas} \mid \Pi)$:
(b) Probabilidad total. También necesitamos $P(\text{2b} \mid I)$:
$P(\text{2b} \mid I) = \tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{42} = \tfrac{1}{21}$
Una empresa produce bombillas halógenas y bombillas de bajo consumo. De cada 7 unidades producidas, 3 son halógenas y 4 de bajo consumo. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es $0{,}02$, y la probabilidad de que lo sea una de bajo consumo es $0{,}09$. Se elige al azar una bombilla y resulta que no es defectuosa; ¿cuál es la probabilidad de que sea halógena?
Mostrar resolución
Sea $H$ = halógena, $L$ = bajo consumo, $D$ = defectuosa. Datos:
$P(H) = \tfrac{3}{7}$, $P(L) = \tfrac{4}{7}$, $P(D \mid H) = 0{,}02$, $P(D \mid L) = 0{,}09$
Por tanto $P(\bar D \mid H) = 0{,}98$ y $P(\bar D \mid L) = 0{,}91$.
Probabilidad de que no sea defectuosa (probabilidad total):
Aplicando Bayes:
Es decir, hay un 44,7 % de probabilidad de que sea halógena.
En un banco, el 30 % de los créditos concedidos son para vivienda; el 50 %, para empresas, y el 20 % son créditos al consumo. Se sabe, además, que de los créditos concedidos para vivienda, el 10 % acaban impagados; de los otorgados a las empresas, acaban impagados el 20 %, mientras que, de los créditos al consumo, el impago afecta al 10 %.
a) Calcula la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado.
b) Si un crédito se ha pagado, ¿qué probabilidad hay de que fuera de consumo?
Mostrar resolución
Sea $H$ = vivienda, $E$ = empresas, $C$ = consumo, $D$ = impagado. Datos:
$P(H) = 0{,}30$, $P(E) = 0{,}50$, $P(C) = 0{,}20$
$P(D \mid H) = 0{,}10$, $P(D \mid E) = 0{,}20$, $P(D \mid C) = 0{,}10$
(a) Probabilidad total del impago:
Por tanto:
(b) Aplicamos Bayes con $\bar D$ = pagado. Necesitamos $P(\bar D \mid C) = 0{,}90$:
Aproximadamente un 21,2 % de los créditos pagados son de consumo.
Una empresa fabrica bicicletas convencionales y eléctricas. El responsable de calidad de la empresa ha mirado el historial de ventas y ha calculado que el 5 % de las bicicletas convencionales habían tenido algún tipo de problema que les había requerido una revisión postventa. En el caso de las bicicletas eléctricas, este porcentaje era del 15 %. Actualmente, el 25 % de la producción es de bicicletas convencionales y el 75 % de bicicletas eléctricas.
a) Si elegimos una bicicleta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún tipo de problema que requiera una revisión postventa? Si la bicicleta elegida al azar presenta algún tipo de problema, ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?
b) (Este apartado resuélvelo en la unidad de Estadística.) El responsable de calidad cree que el dato del 15 % ha quedado desfasado porque la tecnología ha mejorado. Toma una muestra de 100 bicicletas eléctricas vendidas en los últimos meses y observa que solo 8 han requerido una revisión postventa. Encuentra un intervalo de confianza del 95 % para la proporción real y discute si la proporción ha disminuido.
Mostrar resolución (apartado a)
Sea $C$ = convencional, $E$ = eléctrica, $D$ = "tiene problema". Datos:
$P(C) = 0{,}25$, $P(E) = 0{,}75$, $P(D \mid C) = 0{,}05$, $P(D \mid E) = 0{,}15$
Diagrama de árbol y probabilidades conjuntas:
Probabilidad de que tenga problema (probabilidad total):
Probabilidad de que sea eléctrica dado que tiene problema (Bayes):
Aunque las eléctricas solo son el 75 % de la producción, su porcentaje de problemas es tres veces más alto — por eso, visto un problema, la "sospecha" hacia las eléctricas sube al 90 %.
Apartado (b): requiere intervalo de confianza para una proporción (distribución normal) — lo resolveremos en la unidad Distribuciones discretas y continuas.