Unión de conjuntos
Definición
La unión de 2 conjuntos $A$ y $B$ es otro conjunto formado por los elementos que son de $A$ o de $B$. Se escribe $A \cup B$.
Ejemplo
Si $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{2, 3, 4\}$, entonces:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$
Intersección de conjuntos
Definición
La intersección de 2 conjuntos $A$ y $B$ es otro conjunto formado por los elementos que son de $A$ y de $B$ a la vez. Se escribe $A \cap B$.
Ejemplo
Si $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{2, 3, 4\}$, entonces:
$A \cap B = \{2, 3\}$
Complementario (o contrario) de un conjunto
Definición
El complementario de un conjunto $A$ es $\bar{A}$: el conjunto formado por todos los elementos del espacio muestral que no son de $A$.
Ejemplo
Sea el espacio muestral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y:
$A = \{2, 3, 4\}$ ⇒ $\bar{A} = \{1, 5, 6\}$
$B = \{1, 2, 3\}$ ⇒ $\bar{B} = \{4, 5, 6\}$
Propiedades
$n(A) + n(\bar{A}) = n(E)$
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$
Leyes de Morgan
Fórmulas
Selecciona una de las dos leyes y avanza los pasos con los botones. Verás cómo los dos lados de la igualdad dibujan exactamente la misma región del espacio muestral.
Lado izquierdo
Lado derecho
Diferencia de conjuntos
Definición
La diferencia de 2 conjuntos $A$ y $B$, escrita $A - B$, es otro conjunto formado por todos los elementos de $A$ que no están en $B$.
Ejemplo
Si $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4, 5\}$, entonces:
$A - B = \{1, 2\}$
Propiedades importantes
Cardinal de la unión
Probabilidad de la unión
Se resta $P(A \cap B)$ porque los elementos comunes a los dos conjuntos se habrían contado dos veces.
Probabilidad condicionada
Definición
$P(A \mid B)$ es la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ sabiendo que ya ha ocurrido el suceso $B$. Se lee «$A$ dado $B$».
Cuando condicionamos a $B$, restringimos el espacio muestral a los resultados de $B$, y nos preguntamos cuántos de ellos también son de $A$:
Ejemplo
Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, y consideremos:
$A = \{1, 3, 5, 6\}$ y $B = \{1, 2, 3\}$
Espacio muestral E
Restringido a B (nuevo espacio muestral)
En verde, los elementos de $A \cap B$ — los que "cuentan" para el numerador.
Contando en la figura: $A \cap B = \{1, 3\}$. Por tanto:
$P(A) = \dfrac{4}{6}$, $P(B) = \dfrac{3}{6}$, $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6}$
Leyendo la figura de la derecha: sabemos que ha salido un elemento de $B$, así que trabajamos dentro del conjunto verde. Allí hay $3$ elementos en total, y solo $2$ (el $1$ y el $3$) también pertenecen a $A$ — de ahí sale $\tfrac{2}{3}$.
Ejercicios
Practicamos los conceptos de esta sección: cardinal, unión, intersección, complementario y probabilidad condicionada. Cada enunciado lleva la solución oculta — intenta resolverlo antes de desplegarla.
Se encuesta a 127 consumidores. 81 tienen una tableta ($T$), 70 tienen un smartphone ($S$) y 29 tienen ambos.
a) ¿Cuántos consumidores encuestados no tenían ni tableta ni smartphone?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, eligiendo a un consumidor al azar, solo tenga smartphone?
c) En una población de $10\,000$ consumidores, ¿cuántos se prevé que tengan solo tableta?
Mostrar resolución
Empezamos rellenando el diagrama de Venn de dentro hacia fuera:
- Intersección: $n(S \cap T) = 29$.
- Solo smartphone: $n(S) - n(S \cap T) = 70 - 29 = 41$.
- Solo tableta: $n(T) - n(S \cap T) = 81 - 29 = 52$.
(a) $n(S \cup T) = 41 + 29 + 52 = 122$. Por tanto los que no tienen nada son:
(b) Probabilidad de tener solo smartphone:
(c) En una muestra de $10\,000$, los que tienen solo tableta serían aproximadamente:
En una clase de 20 alumnos, 12 estudian biología ($B$), 15 estudian historia ($H$) y 2 alumnos no estudian ni biología ni historia.
a) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie las dos materias.
b) Si un alumno elegido al azar estudia biología, ¿cuál es la probabilidad de que también estudie historia?
c) En un experimento se elige un alumno al azar y se registran las materias que estudia. Si el experimento se repite 60 veces, ¿cuál es el número esperado de veces que se elija a un alumno que estudia las dos?
Mostrar resolución
Si 2 alumnos no estudian nada, entonces $n(B \cup H) = 20 - 2 = 18$. Por la fórmula de inclusión–exclusión:
(a) Probabilidad de estudiar las dos:
(b) Probabilidad condicionada:
(c) El número esperado en 60 repeticiones independientes es:
Esta fórmula ($n \cdot p$) es la media de una distribución binomial — la formalizaremos en la unidad de distribuciones.