Inicio / Docencia / Mat. Aplicades CCSS 1r BTL / Polinomis / 04 · MCD i MCM
1r BTL CCSS · Polinomis Apunts 21 oct 2025

4. MCD i MCM

Definicions de màxim comú divisor i mínim comú múltiple, la propietat $P\cdot Q = \operatorname{MCD}\cdot \operatorname{MCM}$, exemples amb nombres i polinomis i tres exercicis resolts.

Definicions

Màxim comú divisor (MCD)

El MCD de dues (o més) expressions és el producte dels factors comuns a totes elles, cadascun elevat al menor exponent amb què apareix.

Intuïtivament: és el "tros més gran" que divideix exactament totes les expressions alhora.

Mínim comú múltiple (MCM)

El MCM de dues (o més) expressions és el producte dels factors comuns i no comuns, cadascun elevat al major exponent amb què apareix.

Intuïtivament: és l'expressió "més petita" que totes elles divideixen exactament.

Curiositat: la fórmula del producte

Per a qualssevol dues expressions $P(x)$ i $Q(x)$ es compleix:

$$P(x)\cdot Q(x) \;=\; \operatorname{MCD}\!\bigl(P(x),Q(x)\bigr) \cdot \operatorname{MCM}\!\bigl(P(x),Q(x)\bigr).$$

És la mateixa fórmula que per a nombres enters: el producte de dos nombres és igual al producte del seu mcd pel seu mcm.

Exemples treballats

Exemple 1 — nombres enters

Considerem $16$ i $24$. Els descomponem en factors primers:

$$16 = 2^{4}, \qquad 24 = 2^{3} \cdot 3.$$

MCD: factor comú $2$ amb el menor exponent ($\min(4,3) = 3$):

$$\operatorname{mcd}(16, 24) = 2^{3} = 8.$$

MCM: factors comuns i no comuns amb el major exponent ($\max(4,3)=4$ per al $2$, i el $3$ entra amb exponent $1$):

$$\operatorname{mcm}(16, 24) = 2^{4} \cdot 3 = 48.$$

Comprovació de la fórmula:  $16 \cdot 24 = 384$  i  $8 \cdot 48 = 384$. ✓

Exemple 2 — polinomis

Sigui:

$$P(x) = -3\,x^{2}\,(x-2)\,(x+3)^{2}, \qquad Q(x) = 6\,x\,(x+3)^{3}.$$

Repassem cada factor:

  • Constant: $\gcd(3, 6) = 3$  (MCD),  $\operatorname{lcm}(3, 6) = 6$  (MCM).
  • $\boldsymbol{x}$: a $P$ amb exponent $2$, a $Q$ amb exponent $1$.  Comú →  MCD: $x^{1}$,  MCM: $x^{2}$.
  • $\boldsymbol{(x-2)}$: només a $P$ (exponent $1$).  No comú → només contribueix al MCM: $(x-2)$.
  • $\boldsymbol{(x+3)}$: a $P$ amb exponent $2$, a $Q$ amb exponent $3$.  Comú →  MCD: $(x+3)^{2}$,  MCM: $(x+3)^{3}$.
$$\operatorname{MCD}\!\bigl(P,Q\bigr) = 3\,x\,(x+3)^{2}.$$
$$\operatorname{MCM}\!\bigl(P,Q\bigr) = 6\,x^{2}\,(x-2)\,(x+3)^{3}.$$

El signe de l'MCD i de l'MCM és convencional — sovint es trien positius. Si $P$ té un coeficient principal negatiu, el podem incloure dins del MCM si volem que $\operatorname{MCM}/P$ sigui de coeficient principal positiu.

Recepta general

  1. Factoritza totes les expressions en factors primers.
  2. Identifica els factors comuns (apareixen a totes les expressions).
  3. MCD = producte dels factors comuns elevats al menor exponent.
  4. MCM = producte de tots els factors (comuns i no comuns) elevats al major exponent.

Exercicis

1 Factoritza els polinomis següents
a) $P(x) = x^{3} - 5x^{2} + 6x$

Factor comú $x$:

$$P(x) = x\,(x^{2} - 5x + 6).$$

El factor de grau 2 té arrels $x_{1}=2$, $x_{2}=3$:

$$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}.$$
$$\boxed{\,P(x) = x\,(x-2)\,(x-3).\,}$$
b) $Q(x) = -3x^{2} + 12$

Factor comú $-3$:

$$Q(x) = -3\,(x^{2} - 4).$$

$x^{2}-4$ és una diferència de quadrats:

$$\boxed{\,Q(x) = -3\,(x-2)\,(x+2).\,}$$
c) $R(x) = 2x^{2} - 18$

Factor comú $2$ i diferència de quadrats:

$$R(x) = 2\,(x^{2} - 9) = 2\,(x-3)\,(x+3).$$
$$\boxed{\,R(x) = 2\,(x-3)\,(x+3).\,}$$
2 MCD i MCM de $P(x)$ i $Q(x)$

Calcula el MCD i el MCM dels polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ factoritzats a l'exercici anterior:

$P(x) = x\,(x-2)\,(x-3)$,   $Q(x) = -3\,(x-2)\,(x+2)$.

a) Calcula $\operatorname{MCD}\!\bigl(P(x), Q(x)\bigr)$.

Repassem cada factor:

  • Constants: $\gcd(1, 3) = 1$.
  • $x$: només a $P$. No comú.
  • $(x-2)$: a $P$ i a $Q$ (exponent $1$ a tots dos). Comú.
  • $(x-3)$: només a $P$. No comú.
  • $(x+2)$: només a $Q$. No comú.

Només hi ha un factor comú: $(x-2)$.

$$\boxed{\,\operatorname{MCD}\!\bigl(P, Q\bigr) = x-2.\,}$$
b) Calcula $\operatorname{MCM}\!\bigl(P(x), Q(x)\bigr)$.

Per al MCM agafem tots els factors, comuns i no comuns, al màxim exponent:

  • Constants: $\operatorname{lcm}(1, 3) = 3$, amb el signe negatiu de $Q$ → $-3$.
  • $x$, $(x-2)$, $(x-3)$, $(x+2)$ — tots amb exponent $1$.
$$\boxed{\,\operatorname{MCM}\!\bigl(P, Q\bigr) = -3\,x\,(x-2)\,(x-3)\,(x+2).\,}$$

Comprovació amb la fórmula $P\cdot Q = \operatorname{MCD}\cdot\operatorname{MCM}$:
$P\cdot Q = x(x-2)(x-3)\cdot(-3)(x-2)(x+2) = -3\,x\,(x-2)^{2}\,(x-3)\,(x+2)$.
$\operatorname{MCD}\cdot\operatorname{MCM} = (x-2)\cdot[-3\,x\,(x-2)(x-3)(x+2)] = -3\,x\,(x-2)^{2}\,(x-3)\,(x+2)$. ✓

3 MCD i MCM dels tres polinomis

Calcula el MCD i el MCM dels tres polinomis $P(x)$, $Q(x)$ i $R(x)$:

$P(x) = x(x-2)(x-3)$,   $Q(x) = -3(x-2)(x+2)$,   $R(x) = 2(x-3)(x+3)$.

a) Calcula $\operatorname{MCD}\!\bigl(P(x), Q(x), R(x)\bigr)$.

Repassem cada factor i mirem si apareix als tres polinomis:

  • Constants: $\gcd(1, 3, 2) = 1$.
  • $x$: només a $P$. No.
  • $(x-2)$: a $P$ i $Q$, però no a $R$. No.
  • $(x-3)$: a $P$ i $R$, però no a $Q$. No.
  • $(x+2)$: només a $Q$. No.
  • $(x+3)$: només a $R$. No.

No hi ha cap factor comú als tres polinomis. Per tant:

$$\boxed{\,\operatorname{MCD}\!\bigl(P, Q, R\bigr) = 1.\,}$$

Quan el MCD és $1$ es diu que els polinomis són primers entre si.

b) Calcula $\operatorname{MCM}\!\bigl(P(x), Q(x), R(x)\bigr)$.

Per al MCM agafem tots els factors al màxim exponent:

  • Constants: $\operatorname{lcm}(1, 3, 2) = 6$, amb el signe negatiu → $-6$.
  • $x$, $(x-2)$, $(x-3)$, $(x+2)$, $(x+3)$ — tots amb exponent $1$.
$$\boxed{\,\operatorname{MCM}\!\bigl(P, Q, R\bigr) = -6\,x\,(x-2)\,(x+2)\,(x-3)\,(x+3).\,}$$

Equivalentment, agrupant les diferències de quadrats: $-6\,x\,(x^{2}-4)(x^{2}-9)$.