3. Deures · Polinomis · 1r BTL CCSS

Operacions amb polinomis

3 Valor numèric — calcular un coeficient

Calcula el valor de $a$ sabent que el valor numèric de $Q(x) = 2x^{3} + ax^{2} - x + 15$ per a $x=-2$ és $-11$.

Substituïm $x=-2$ a $Q(x)$ i imposem que el resultat sigui $-11$:

Q(-2) = 2(-2)^{3} + a(-2)^{2} - (-2) + 15 = -16 + 4a + 2 + 15 = 4a + 1.

Igualem a $-11$ i aïllem $a$:

4a + 1 = -11 \;\Longrightarrow\; 4a = -12 \;\Longrightarrow\; \boxed{\,a = -3.\,}

Comprovació: $Q(-2)=2(-8)+(-3)(4)-(-2)+15=-16-12+2+15=-11$. ✓

6 Divisibilitat per $x+1$

Calcula el valor de $m$ perquè el polinomi $P(x) = 2x^{3} - 3mx^{2} + x + 3$ sigui divisible entre $x+1$.

Pel teorema del residu, $P(x)$ és divisible entre $x+1=x-(-1)$ si i només si $P(-1)=0$:

P(-1) = 2(-1)^{3} - 3m(-1)^{2} + (-1) + 3 = -2 - 3m - 1 + 3 = -3m.

Imposem la condició:

-3m = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{\,m = 0.\,}

Comprovació: amb $m=0$ tenim $P(x)=2x^{3}+x+3$, i $P(-1)=-2-1+3=0$. ✓

7 Quatre divisions per Ruffini

Considera els polinomis $P(x) = 3x^{5} - 2x^{4} + x^{3} - 2x + 1$, $\;Q(x) = -x^{5} - x^{2} + 3x$, $\;S(x) = x-2$ i $\;T(x) = x + \tfrac{1}{2}$. Aplica la regla de Ruffini per fer les quatre divisions.

a) $P(x) \div S(x)$

Coeficients de $P$: $\;3,\,-2,\,1,\,0,\,-2,\,1$. Provem $a=2$:

	$3$	$-2$	$1$	$0$	$-2$	$1$
$2$		$6$	$8$	$18$	$36$	$68$

	$3$	$4$	$9$	$18$	$34$	$69$

P(x) = (x-2)(3x^{4} + 4x^{3} + 9x^{2} + 18x + 34) + 69.

b) $P(x) \div T(x)$

Provem $a=-\tfrac{1}{2}$:

	$3$	$-2$	$1$	$0$	$-2$	$1$
$-\tfrac{1}{2}$		$-\tfrac{3}{2}$	$\tfrac{7}{4}$	$-\tfrac{11}{8}$	$\tfrac{11}{16}$	$\tfrac{21}{32}$

	$3$	$-\tfrac{7}{2}$	$\tfrac{11}{4}$	$-\tfrac{11}{8}$	$-\tfrac{21}{16}$	$\tfrac{53}{32}$

P(x) = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\!\left(3x^{4} - \tfrac{7}{2}x^{3} + \tfrac{11}{4}x^{2} - \tfrac{11}{8}x - \tfrac{21}{16}\right) + \tfrac{53}{32}.

c) $Q(x) \div S(x)$

Coeficients de $Q$: $\;-1,\,0,\,0,\,-1,\,3,\,0$. Provem $a=2$:

	$-1$	$0$	$0$	$-1$	$3$	$0$
$2$		$-2$	$-4$	$-8$	$-18$	$-30$

	$-1$	$-2$	$-4$	$-9$	$-15$	$-30$

Q(x) = (x-2)(-x^{4} - 2x^{3} - 4x^{2} - 9x - 15) - 30.

d) $Q(x) \div T(x)$

Provem $a=-\tfrac{1}{2}$:

	$-1$	$0$	$0$	$-1$	$3$	$0$
$-\tfrac{1}{2}$		$\tfrac{1}{2}$	$-\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{8}$	$\tfrac{7}{16}$	$-\tfrac{55}{32}$

	$-1$	$\tfrac{1}{2}$	$-\tfrac{1}{4}$	$-\tfrac{7}{8}$	$\tfrac{55}{16}$	$-\tfrac{55}{32}$

Q(x) = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\!\left(-x^{4} + \tfrac{1}{2}x^{3} - \tfrac{1}{4}x^{2} - \tfrac{7}{8}x + \tfrac{55}{16}\right) - \tfrac{55}{32}.

Cap dels quatre residus és zero, així que ni $S$ ni $T$ són factors de $P$ o $Q$.

9 Polinomi a partir d'arrels

Un polinomi té per arrels $-1$ i $2$, la segona de les quals és una arrel doble. Escriu l'expressió algebraica d'aquest polinomi sabent que $P(0) = 12$.

Si $-1$ és arrel simple i $2$ és arrel doble, els factors són $(x+1)$ i $(x-2)^{2}$. Falta el coeficient principal, l'escrivim com a $a$:

P(x) = a\,(x+1)(x-2)^{2}.

Imposem la condició $P(0) = 12$:

P(0) = a \cdot 1 \cdot 4 = 4a = 12 \;\Longrightarrow\; a = 3.

Per tant:

\boxed{\,P(x) = 3\,(x+1)(x-2)^{2}.\,}

Si l'expandim: $(x-2)^{2} = x^{2}-4x+4$, $\;(x+1)(x^{2}-4x+4) = x^{3}-3x^{2}+4$, i finalment:

P(x) = 3x^{3} - 9x^{2} + 12.

Comprovació: $P(-1) = -3-9+12 = 0$ ✓, $P(2) = 24-36+12 = 0$ ✓, $P(0) = 12$ ✓.

Factorització

14 Factoritza els polinomis següents

Factoritza els polinomis següents. Després, comprova amb GeoGebra els resultats obtinguts.

a) $P(x) = 16x^{2} + 8x + 1$

$\Delta = 8^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$ ⇒ arrel doble:

x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 16} = -\dfrac{1}{4}.

Per tant:

\boxed{\,P(x) = 16\!\left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{\!2} = (4x+1)^{2}.\,}

b) $Q(y) = y^{2} + \tfrac{5y}{6} + \tfrac{1}{6}$

Multipliquem tot per $6$ per treure els denominadors i resoldre $\;6y^{2}+5y+1=0$:

y = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{12} = \dfrac{-5 \pm 1}{12}.

Arrels: $\;y_{1} = -\tfrac{1}{3},\; y_{2} = -\tfrac{1}{2}$. Com que el coeficient principal de $Q$ és $1$:

\boxed{\,Q(y) = \left(y+\tfrac{1}{3}\right)\!\left(y+\tfrac{1}{2}\right).\,}

c) $R(x) = 3x^{3} + x^{2} - 12x - 4$

Provem $a=2$ amb Ruffini sobre $\;3,\,1,\,-12,\,-4$:

	$3$	$1$	$-12$	$-4$
$2$		$6$	$14$	$4$

	$3$	$7$	$2$	$0$

$R(x) = (x-2)(3x^{2}+7x+2)$. Factoritzem el segon factor:

x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49-24}}{6} = \dfrac{-7 \pm 5}{6} \;\Rightarrow\; x_{1}=-\tfrac{1}{3},\; x_{2}=-2.

Així $\;3x^{2}+7x+2 = 3\!\left(x+\tfrac{1}{3}\right)(x+2)\;$ i:

\boxed{\,R(x) = 3\,(x-2)(x+2)\!\left(x+\tfrac{1}{3}\right).\,}

d) $S(x) = x^{2} - x^{4}$

Factor comú $-x^{2}$ i diferència de quadrats:

S(x) = -x^{4} + x^{2} = -x^{2}(x^{2}-1) = -x^{2}(x-1)(x+1).

\boxed{\,S(x) = -x^{2}(x-1)(x+1).\,}

e) $T(x) = x^{2} + x^{4}$

Treiem $x^{2}$ com a factor comú:

T(x) = x^{2}\,(1 + x^{2}).

El factor $\,x^{2}+1\,$ té $\Delta = -4 < 0$, així que és irreductible en els reals i ja no es pot descompondre més:

\boxed{\,T(x) = x^{2}\,(x^{2}+1).\,}

f) $U(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4$

És una biquadràtica: fem el canvi $u = x^{2}$ i resolem $u^{2} - 5u + 4 = 0$:

u = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2} = \dfrac{5 \pm 3}{2} \;\Rightarrow\; u_{1}=4,\; u_{2}=1.

Així $\;U(x) = (x^{2}-1)(x^{2}-4)\;$ i, fent diferència de quadrats a cadascun:

\boxed{\,U(x) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2).\,}

g) $V(x) = 6x^{5} - 5x^{4} - x^{2} + 2x$

Factor comú $x$:

V(x) = x\,(6x^{4} - 5x^{3} - x + 2).

El segon factor no té cap arrel racional — comprovat provant tots els divisors enters i fraccionaris del terme independent ($\pm 1, \pm 2, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{3}, \pm \tfrac{1}{6}, \pm \tfrac{2}{3}$): cap dóna residu zero. A més, és sempre positiu (mínim $\approx 1{,}02$ a $x \approx 0{,}71$), o sigui que tampoc té arrels reals.

La factorització "de mà" arriba fins aquí:

\boxed{\,V(x) = x\,(6x^{4} - 5x^{3} - x + 2).\,}

Per anar més enllà cal GeoGebra o calculadora — l'enunciat ho dóna a entendre quan diu "comprova amb GeoGebra els resultats obtinguts".

h) $W(x) = x^{3} - \tfrac{9}{2}x^{2} + \tfrac{3}{2}x + 2$

Per evitar fraccions a Ruffini, factoritzem $\;2W(x) = 2x^{3} - 9x^{2} + 3x + 4\;$ i, al final, dividim per $2$. Provem $a=1$:

	$2$	$-9$	$3$	$4$
$1$		$2$	$-7$	$-4$

	$2$	$-7$	$-4$	$0$

$\;2W(x) = (x-1)(2x^{2}-7x-4)$. Resolem $\;2x^{2}-7x-4=0$:

x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49+32}}{4} = \dfrac{7 \pm 9}{4} \;\Rightarrow\; x_{1}=4,\; x_{2}=-\tfrac{1}{2}.

Llavors $\;2x^{2}-7x-4 = 2(x-4)\!\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\;$, així que $\;2W(x) = 2(x-1)(x-4)\!\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\;$ i:

\boxed{\,W(x) = (x-1)(x-4)\!\left(x+\tfrac{1}{2}\right).\,}

i) $Y(x) = 2x - 8x^{3}$

Factor comú $2x$:

Y(x) = 2x\,(1 - 4x^{2}).

$1-4x^{2}$ és una diferència de quadrats: $\;1-(2x)^{2} = (1-2x)(1+2x)$. Per tant:

\boxed{\,Y(x) = 2x\,(1-2x)(1+2x).\,}

Equivalentment, $\;Y(x) = -8x\!\left(x-\tfrac{1}{2}\right)\!\!\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\;$ — recupera el coeficient principal $-8$ del polinomi original.

j) $Z(x) = x^{3} - 4x^{2} + 4x$

Factor comú $x$ i, després, quadrat de la resta $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ amb $a=x,\,b=2$:

Z(x) = x\,(x^{2}-4x+4) = x\,(x-2)^{2}.

\boxed{\,Z(x) = x\,(x-2)^{2}.\,}