Què vol dir factoritzar?
Factoritzar un polinomi
Factoritzar un polinomi és escriure'l com a producte de factors primers, és a dir, com el producte de polinomis més senzills que ja no es poden descompondre més (en els reals, factors de grau 1 i factors irreductibles de grau 2).
Recorda de l'apartat anterior: cada arrel real $a$ del polinomi dóna un factor de la forma $(x-a)$. Tota la feina d'aquest apartat consisteix, doncs, a trobar les arrels per construir els factors.
Per a què serveix?
La factorització ens deixa: (i) resoldre equacions polinòmiques, perquè un producte és zero només si algun factor és zero; (ii) simplificar fraccions algebraiques cancel·lant factors comuns al numerador i al denominador; i (iii) estudiar el signe d'un polinomi per resoldre inequacions.
Quina estratègia faig servir?
Davant un polinomi, sempre seguim el mateix esquema: primer treure factor comú (si n'hi ha) i, després, aplicar el mètode adequat segons el grau del que queda.
| Grau | Mètodes recomanats |
|---|---|
| Grau 2 | Equació de 2n grau (fórmula), productes notables si es reconeix el patró, calculadora o Ruffini. |
| Grau 3 i 4 | Ruffini (provant divisors del terme independent) o calculadora. |
| Grau 5 o més | Ruffini, aplicat tantes vegades com calgui fins a baixar el grau. |
Pas zero comú a tots els graus: extreure el factor comú que comparteixin tots els termes.
Pas zero: factor comú
Idea
Si tots els termes del polinomi tenen un factor comú (un nombre, una potència de $x$ o tots dos), el traiem cap a fora. Això redueix el grau del que queda dins el parèntesi i normalment fa la resta de passos molt més fàcils.
Exemple 1 — només una potència de $x$
Factoritza $\;P(x) = 2x^{3} - 8x^{2} + 6x$.
Els tres termes tenen el factor $2x$ en comú:
Ara cal factoritzar $\;x^{2} - 4x + 3$, que és de grau 2. Les seves arrels són $x=1$ i $x=3$ (de cap o per fórmula), així que:
Observa que $x=0$ és arrel (perquè $2x$ és un factor): no es pot oblidar quan resols $P(x)=0$.
Exemple 2 — només un nombre comú
Factoritza $\;Q(x) = 3x^{2} - 12$.
Treiem el $3$:
(El segon pas és un producte notable, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, que veurem ara mateix.)
Grau 2: tres camins
Camí A · Fórmula de 2n grau
Fórmula
Si $\;ax^{2} + bx + c = 0$, les arrels venen donades per:
El nombre $\Delta = b^{2}-4ac$ és el discriminant i ens diu quantes arrels reals hi ha:
- $\Delta > 0$: dues arrels reals diferents → dos factors de grau 1.
- $\Delta = 0$: una arrel doble $x_{0}$ → un factor al quadrat $(x-x_{0})^{2}$.
- $\Delta < 0$: cap arrel real → el polinomi és irreductible en els reals.
Exemple guiat — $P(x) = x^{2} - 5x + 6$
Identifiquem els coeficients: $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Apliquem la fórmula:
D'aquí surten dues arrels: $\;x_{1} = \dfrac{5+1}{2} = 3\;$ i $\;x_{2} = \dfrac{5-1}{2} = 2$.
Cada arrel dóna un factor:
Comprovació ràpida: $(x-2)(x-3) = x^{2} - 3x - 2x + 6 = x^{2} - 5x + 6$. ✓
Camí B · Productes notables
Identitats que has de saber reconèixer
| Quadrat de la suma | $\;(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ |
| Quadrat de la resta | $\;(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ |
| Suma per diferència | $\;(a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}$ |
Quan veus aquestes formes "al revés", saltes la fórmula i factoritzes directament. Truc: els quadrats perfectes tenen $\Delta = 0$ (arrel doble); les diferències de quadrats no tenen terme en $x$.
Exemple — diferència de quadrats
Factoritza $\;x^{2} - 9$.
Reconeixem que $9 = 3^{2}$, així que és $a^{2}-b^{2}$ amb $a=x$ i $b=3$:
Exemple — quadrat perfecte
Factoritza $\;x^{2} + 6x + 9$.
Comprovem si és un quadrat perfecte: $9 = 3^{2}$ i el doble producte hauria de ser $2\cdot x \cdot 3 = 6x$. ✓
És el cas $\Delta=0$: $\;6^{2}-4\cdot 1\cdot 9 = 36-36 = 0$, arrel doble $x=-3$.
Camí C · Polinomi irreductible
Quan el discriminant és negatiu
Si $\Delta < 0$, el polinomi no es pot factoritzar en els reals. Es queda com està: és el seu propi factor.
Per exemple, $\;x^{2}+1\;$ té $\Delta = 0 - 4 = -4 < 0$. No té cap arrel real i, per tant, és irreductible. Igual passa amb $\;x^{2}+x+1\;$ ($\Delta = 1-4 = -3 < 0$).
Grau ≥ 3: Ruffini
La regla de Ruffini, en una frase
És una manera ràpida de dividir un polinomi $P(x)$ per un binomi de la forma $(x-a)$. Si la divisió dóna residu zero, vol dir que $a$ és arrel de $P(x)$, i $P(x) = (x-a)\cdot Q(x)$, amb $Q(x)$ el quocient (un polinomi un grau més baix).
Quins valors de $a$ provem?
Pel teorema de l'arrel racional, si $P(x)$ té coeficients enters i coeficient principal $1$, totes les arrels racionals són divisors enters del terme independent. Així, només cal anar provant $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ entre els divisors.
Exemple guiat — tornem a $P(x) = x^{2} - 5x + 6$ amb Ruffini
Els coeficients són $1,\,-5,\,6$. Els divisors de $6$ són $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Provem primer $a=2$:
| 1 | $-5$ | $6$ | |
| 2 | $2$ | $-6$ | |
| $1$ | $-3$ | $0$ | |
El residu és 0, així que $x=2$ és arrel i $P(x) = (x-2)(x-3)$ — el quocient és $x-3$, llegit dels coeficients $1$ i $-3$. Si volguéssim continuar, podríem aplicar Ruffini un altre cop al quocient amb $a=3$:
| 1 | $-3$ | |
| 3 | $3$ | |
| $1$ | $0$ | |
Arribem a quocient $1$ i residu $0$: hem esgotat les arrels. La factorització és:
Exemple — grau 3
Factoritza $\;P(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$.
Divisors de $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Provem $a=1$:
| 1 | $-6$ | $11$ | $-6$ | |
| 1 | $1$ | $-5$ | $6$ | |
| $1$ | $-5$ | $6$ | $0$ | |
Residu $0$, així que $x=1$ és arrel i:
El quocient $\;x^{2}-5x+6\;$ ja l'hem factoritzat a l'exemple anterior, així que:
Exemple — quan una arrel no funciona
Factoritza $\;Q(x) = x^{3} - x^{2} - 4x + 4$.
Divisors de $4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Provem primer $a=1$:
| 1 | $-1$ | $-4$ | $4$ | |
| 1 | $1$ | $0$ | $-4$ | |
| $1$ | $0$ | $-4$ | $0$ | |
Sí, $x=1$ és arrel: $Q(x) = (x-1)(x^{2}-4)$. El factor $x^{2}-4$ és una diferència de quadrats, així que:
Si $a=1$ no hagués donat residu zero, hauríem provat $a=-1$, $a=2$, $a=-2$… fins a trobar-ne una.
El coeficient principal no es perd
Compte amb el factor numèric
Quan factoritzem un polinomi de la forma $\,a_{n}\,x^{n}+\cdots\,$ amb $a_{n}\neq 1$, el coeficient principal $a_{n}$ apareix multiplicant el producte de factors. Si l'ignorem, l'expressió deixa de ser igual al polinomi original.
Exemple
Factoritza $\;R(x) = 2x^{2} - 10x + 12$.
Primer, factor comú: $R(x) = 2\,(x^{2}-5x+6) = 2\,(x-2)(x-3)$.
Comprovació: $\;2(x-2)(x-3) = 2(x^{2}-5x+6) = 2x^{2}-10x+12$. ✓
Si haguéssim escrit només $(x-2)(x-3)$, ens hauríem deixat el $2$ i hauríem perdut la igualtat.
Recepta general (checklist)
Passos a seguir davant d'un polinomi
- Factor comú primer: mira si tots els termes comparteixen un nombre o una potència de $x$ — i treu-lo.
- Mira el grau del que queda:
- Grau 2 → fórmula del 2n grau (o productes notables si reconeixes el patró).
- Grau 3, 4 o més → Ruffini, provant divisors del terme independent.
- Repeteix Ruffini sobre el quocient mentre encara tingui grau ≥ 2 i puguis trobar més arrels.
- Quan arribis a un factor de grau 2 amb $\Delta < 0$, para: és irreductible.
- Comprovació: multiplica de nou els factors i mira que recuperes el polinomi original (en particular, el coeficient principal).