Inicio / Docencia / Mat. Aplicades CCSS 1r BTL / Polinomis / 01 · Definicions
1r BTL CCSS · Polinomis Apunts 15 oct 2025

1. Definicions

Què és un monomi i un polinomi, com mesurem el seu grau, l'expressió general $P(x)=\sum a_i x^i$, valor numèric, arrel i factors de grau 1 i 2.

Monomi i polinomi

Polinomi

Un polinomi és una expressió algebraica formada per un conjunt (suma i/o resta) de monomis.

Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre — el coeficient — i una o diverses lletres elevades a un exponent natural — la part literal.

Exemple: parts d'un monomi

Considerem el monomi $5\,x^{2}\,y$:

$$\underbrace{\,5\,}_{\textsf{coeficient}}\,\underbrace{\,x^{2}\,y\,}_{\textsf{part literal}}$$
  • El coeficient és $5$.
  • La part literal és $x^{2}\,y$ — té dos tipus de lletra ($x$ i $y$) però tres lletres en total ($x \cdot x \cdot y$).
  • El grau del monomi és la suma dels exponents de la part literal: $2 + 1 = 3$.

Exemple: parts d'un polinomi

Considerem el polinomi:

$$\underbrace{P}_{\textsf{nom}}(\underbrace{x,\,y}_{\textsf{variables}}) \;=\; \underbrace{3x^{2} \,+\, 5xy^{3} \,-\, 7xy^{2} \,+\, 2}_{\textsf{termes}}$$
  • Nom: $P$ (és com l'etiqueta del polinomi).
  • Variables: $x$ i $y$.
  • Termes: $3x^{2}$,   $5xy^{3}$,   $-7xy^{2}$   i   $2$ — cada terme és un monomi.
  • Grau de $P$: el grau més alt entre tots els termes. El terme $5xy^{3}$ té grau $1+3=4$, que és el major; per tant $\operatorname{grau}(P) = 4$.

Polinomis d'una variable

Expressió general

En aquest curs treballarem sobretot amb polinomis d'una sola variable $x$. Un polinomi de grau $n$ es pot escriure de forma compacta:

$$P(x) = a_{n}\,x^{n} + a_{n-1}\,x^{n-1} + \cdots + a_{1}\,x + a_{0} \;=\; \sum_{i=0}^{n} a_{i}\,x^{i}.$$

Els nombres $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ són els coeficients; l'exponent més gran que apareix amb coeficient no nul ($a_{n} \neq 0$) marca el grau del polinomi.

Terme principal i terme independent

  • El terme principal és el monomi de grau més alt: $a_{n}\,x^{n}$.
  • El terme independent és el monomi sense $x$: el coeficient $a_{0}$.

Exemple

$$P(x) \;=\; \underbrace{\,x^{2}\,}_{\textsf{terme principal}} \,-\, 5x \,+\, \underbrace{\,6\,}_{\textsf{terme independent}}$$
  • Terme principal: $x^{2}$  (grau $2$, coeficient $a_{2} = 1$).
  • Terme independent: $6$  ($a_{0} = 6$).
  • Coeficients: $a_{2} = 1$, $a_{1} = -5$, $a_{0} = 6$.

Valor numèric i arrels

Valor numèric

El valor numèric d'un polinomi $P(x)$ en un punt $x_{0}$ és el nombre que s'obté de substituir la variable per aquest valor i operar.

Exemple

Sigui $P(x) = x^{2} - 5x + 6$ i avaluem-lo en $x = 2$:

$$P(2) = 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0.$$

Quan el valor numèric dóna zero, el punt té un nom especial: és una arrel del polinomi.

Arrel d'un polinomi

Diem que $x_{0}$ és una arrel de $P(x)$ si $P(x_{0}) = 0$.

En l'exemple anterior, $x_{0} = 2$ és una arrel de $P(x) = x^{2} - 5x + 6$.

Factors d'un polinomi

Quins factors hi pot haver?

Quan factoritzem un polinomi (és a dir, l'escrivim com un producte de polinomis més senzills), els factors que hi apareixen són només de dos tipus:

  • Polinomis de grau 1: de la forma $\,x - a$, on $a$ és una arrel del polinomi.
  • Polinomis de grau 2 sense arrels reals: blocs irreductibles del tipus $\,x^{2} + bx + c$ (discriminant $b^{2}-4c < 0$).

Exemple

El polinomi $P(x) = x^{2} - 5x + 6$ té dues arrels reals, $x = 2$ i $x = 3$, així que es factoritza com a producte de dos factors de grau 1:

$$P(x) = (x-2)\,(x-3).$$

En canvi, $Q(x) = x^{2} + 1$ no té cap arrel real (cap nombre real al quadrat dóna $-1$), per tant és irreductible i ja apareix com un únic factor de grau 2.

Idea per a la factorització

Trobar les arrels d'un polinomi és, doncs, el primer pas per descompondre'l: cada arrel $a$ ens dóna un factor $(x-a)$. La resta — els blocs de grau 2 irreductibles — apareixen quan ja no queden arrels reals per treure.