Definició
Logaritme en base a
El logaritme en base $a$ de $b$ és el nombre $c$ tal que elevant la base a $c$ obtenim $b$:
Anomenem $a$ la base, $b$ l'argument, i $c$ el resultat del logaritme.
El logaritme respon la pregunta: "a quin exponent he d'elevar la base per obtenir l'argument?"
Exemples directes
- $\log_{2} 8 = 3$ perquè $2^{3} = 8$.
- $\log_{5} 25 = 2$ perquè $5^{2} = 25$.
- $\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = -1$ perquè $3^{-1} = \tfrac{1}{3}$.
Un cas una mica menys directe: $\log_{\sqrt{2}} 16 = ?$
Així, $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8$.
Quan no existeix?
El logaritme només està definit per a argument estrictament positiu ($b > 0$):
- $\log_{a}(\text{nombre negatiu})$ no existeix. Per exemple, $\log_{5}(-25)$ no està definit, perquè cap potència real de $5$ pot donar un nombre negatiu.
- $\log_{a} 0$ no existeix: $a^{c} = 0$ no té solució real.
- La base $a$ ha de ser positiva i diferent d'$1$.
Propietats dels logaritmes
Resum amb exemples
| Propietat | Expressió | Exemple |
|---|---|---|
| Logaritme de la base | $\log_{a} a = 1$ | $\log_{3} 3 = 1$ |
| Logaritme d'$1$ | $\log_{a} 1 = 0$ | $\log_{5} 1 = 0$ |
| Logaritme d'una potència de la base | $\log_{a} a^{n} = n$ | $\log_{3} 9 = \log_{3} 3^{2} = 2$ |
| Logaritme d'una potència | $\log_{a}(b^{n}) = n \cdot \log_{a} b$ | $\log_{3} 25 = \log_{3} 5^{2} = 2\log_{3} 5$ |
| Logaritme d'un producte | $\log_{a}(b \cdot d) = \log_{a} b + \log_{a} d$ | $\log 6 = \log 2 + \log 3$ |
| Logaritme d'un quocient | $\log_{a}\!\left(\dfrac{b}{d}\right) = \log_{a} b - \log_{a} d$ | $\log\!\left(\tfrac{15}{3}\right) = \log 15 - \log 3$ |
| Logaritme i arrel | $\log_{a}\!\sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n}\log_{a} b$ | $\log\!\sqrt{100} = \tfrac{1}{2}\log 100 = 1$ |
Totes aquestes propietats venen directament de les propietats de les potències aplicades a la definició: si $a^{c} = b$ i $a^{c'} = d$, llavors $a^{c+c'} = bd$, etc.
Tipus de logaritmes
Segons la base, hi ha tres notacions habituals:
| Nom | Notació | Base |
|---|---|---|
| Logaritme decimal (o "comú") | $\log b$ | $10$ |
| Logaritme natural (o "neperià") | $\ln b$ | $e \approx 2{,}71828\ldots$ |
| Logaritme en una base $a$ qualsevol | $\log_{a} b$ | $a > 0$, $a \neq 1$ |
Quan veus $\log$ sense subscript a un llibre o calculadora, normalment es refereix al logaritme decimal (base $10$).
Logaritmes i exponencials: són inversos
Funcions inverses
$\log_{a}(x)$ i $a^{x}$ són funcions inverses: l'una desfà l'altra. Així obtenim dues identitats molt útils:
Exemples
- $\log_{2}(2^{4}) = 4$.
- $3^{\log_{3}(7)} = 7$.
Aplicació: resoldre equacions exponencials
Quan tens una equació del tipus $a^{x} = b$, hi ha dos casos típics:
Cas 1 — el resultat és potència exacta de la base
$5^{x} = 25$. Com que $25 = 5^{2}$, igualem exponents:
Cas 2 — cal logaritme
$5^{x} = 7$. No podem expressar $7$ com una potència "neta" de $5$. Apliquem logaritme als dos costats:
O bé, fent servir logaritme decimal als dos costats i la propietat de la potència:
Aquesta és la fórmula del canvi de base: $\log_{a} b = \dfrac{\log b}{\log a} = \dfrac{\ln b}{\ln a}$. T'és útil quan la calculadora només té $\log$ i $\ln$.