Potències i arrels
1Escriu en forma de potència de base $a$
a) $\sqrt{a^{6}}$
$\sqrt{a^{6}} = a^{6/2} = a^{3}$
b) $\sqrt[3]{a^{12}}$
$\sqrt[3]{a^{12}} = a^{12/3} = a^{4}$
c) $\dfrac{1}{\sqrt{a^{5}}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{a^{5}}} = \dfrac{1}{a^{5/2}} = a^{-5/2}$
2Simplifica les expressions
a) $\dfrac{2^{5} \cdot 2^{3}}{2^{4}}$
$\dfrac{2^{5} \cdot 2^{3}}{2^{4}} = \dfrac{2^{8}}{2^{4}} = 2^{8-4} = 2^{4}$
b) $(3^{2})^{4}$
$(3^{2})^{4} = 3^{2 \cdot 4} = 3^{8}$
c) $\left(\dfrac{5^{3}}{5^{2}}\right)^{2}$
$\left(\dfrac{5^{3}}{5^{2}}\right)^{2} = \left(5^{1}\right)^{2} = 5^{2} = 25$
3Calcula el valor (aprox. amb 2 decimals si cal)
a) $\sqrt{75}$
$\sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 5^{2}} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$
b) $\sqrt[3]{0{,}008}$
$0{,}008 = \dfrac{8}{1000} = \dfrac{2^{3}}{2^{3} \cdot 5^{3}} = \dfrac{1}{5^{3}}$.
$\sqrt[3]{\dfrac{1}{5^{3}}} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$
c) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{16}}$
$\dfrac{1}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}} = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$
4Expressa amb potències de base $10$
a) $1\,000\,000$
$1\,000\,000 = 10^{6}$
b) $\dfrac{1}{1000}$
$\dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^{3}} = 10^{-3}$
c) $\sqrt{0{,}01}$
$\sqrt{0{,}01} = \sqrt{\dfrac{1}{100}} = \sqrt{\dfrac{1}{10^{2}}} = \dfrac{1}{10} = 10^{-1}$
5Calcula el resultat
a) $9^{1/2}$
$9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$
b) $27^{2/3}$
$27^{2/3} = \sqrt[3]{27^{2}} = \sqrt[3]{(3^{3})^{2}} = 3^{2} = 9$
c) $32^{-3/5}$
$32 = 2^{5}$, així $32^{-3/5} = (2^{5})^{-3/5} = 2^{-3}$.
$32^{-3/5} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}$
Logaritmes (només definició bàsica)
6Escriu en forma de potència la definició
Recorda: $\log_{a} b = c \;\Leftrightarrow\; a^{c} = b$.
a) $\log_{2} 8 = x$
$2^{x} = 8 = 2^{3} \;\Longrightarrow\; x = 3$
b) $\log_{10} 0{,}01 = y$
$10^{y} = 0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2} \;\Longrightarrow\; y = -2$
c) $\log_{5} 25 = z$
$5^{z} = 25 = 5^{2} \;\Longrightarrow\; z = 2$
7Resol per $x$
a) $\log_{3} x = 4$
$x = 3^{4} = 81$
b) $\log_{10} x = -2$
$x = 10^{-2} = 0{,}01$
c) $\log_{7} x = 0$
$x = 7^{0} = 1$
8Troba el valor dels següents logaritmes senzills
a) $\log_{2} 16$
$\log_{2} 16 = \log_{2} 2^{4} = 4$
b) $\log_{4} 64$
$64 = 4^{3}$.
$\log_{4} 64 = \log_{4} 4^{3} = 3$
c) $\log_{5} 1$
$\log_{5} 1 = 0$ (perquè $5^{0} = 1$).
9Equacions exponencials senzilles
a) $2^{x} = 32$
$2^{x} = 2^{5} \;\Longrightarrow\; x = 5$
b) $10^{y} = 0{,}001$
$10^{y} = 10^{-3} \;\Longrightarrow\; y = -3$
c) $5^{z} = 1$
$5^{z} = 5^{0} \;\Longrightarrow\; z = 0$
10Escriu en forma de logaritme les igualtats
a) $3^{2} = 9$
$\log_{3} 9 = 2$
b) $10^{-3} = 0{,}001$
$\log_{10} 0{,}001 = -3$ (o també $\log 0{,}001 = -3$).
c) $7^{0} = 1$
$\log_{7} 1 = 0$