3. Racionalització · Nombres reals

Tipus 1 — Denominador: una arrel quadrada

Tècnica

Si el denominador és $\sqrt{a}$, multipliquem dalt i baix per $\sqrt{a}$. Així el denominador queda $(\sqrt{a})^{2} = a$.

\dfrac{m}{\sqrt{a}} \cdot \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \dfrac{m\,\sqrt{a}}{a}.

Exemple

\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}.

Tipus 2 — Denominador: una arrel no quadrada

Tècnica

Si el denominador és $\sqrt[n]{a^{m}}$ (amb $m < n$), multipliquem dalt i baix per $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ per completar l'exponent fins a $n$ i així treure l'arrel:

\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}} \cdot \dfrac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \dfrac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}.

Si numerador i denominador tenen índexs diferents, és més pràctic passar-ho tot a un mateix índex (LCM) i operar amb potències fraccionàries.

Exemples

$\dfrac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[7]{5^{3}}}$: posem-ho a índex comú $21$.

\dfrac{5^{1/3}}{5^{3/7}} = 5^{1/3 - 3/7} = 5^{7/21 - 9/21} = 5^{-2/21} = \dfrac{1}{\sqrt[21]{5^{2}}}.

Per racionalitzar, multipliquem per $\sqrt[21]{5^{19}}/\sqrt[21]{5^{19}}$:

\dfrac{\sqrt[21]{5^{19}}}{5}.

$\dfrac{2}{\sqrt[3]{2^{5}}}$: cal multiplicar per $\sqrt[3]{2}$ per arribar a $\sqrt[3]{2^{6}} = 2^{2}$ al denominador:

\dfrac{2}{\sqrt[3]{2^{5}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{2\,\sqrt[3]{2}}{2^{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}.

Tipus 3 — Denominador: suma o resta d'arrels quadrades

Tècnica del conjugat

Si el denominador és $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ o $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, multipliquem dalt i baix per la fracció conjugada (el mateix binomi amb el signe del mig canviat). Així s'aprofita la identitat notable

(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}.

El producte $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$, ja sense arrels.

Exemple

Racionalitza $\dfrac{5}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ multiplicant per $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$:

\dfrac{5}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{2} + 5\sqrt{3}}{2 - 3} = -5\sqrt{2} - 5\sqrt{3}.

Exercicis

Apliquem les tres tècniques per racionalitzar denominadors. Cada enunciat porta la solució amagada — intenta resoldre'l abans de desplegar-la.

32 Racionalitza i simplifica

Racionalitza i simplifica les expressions següents.

$\dfrac{4}{\sqrt{2}}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[5]{2}}$
$\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
$\dfrac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 3}$

Mostrar solució

(a) Tipus 1 (arrel quadrada al denominador). Multipliquem per $\sqrt{2}/\sqrt{2}$:

\dfrac{4}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.

(b) Tipus 2 (arrel cinquena al denominador). Multipliquem per $\sqrt[5]{2^{4}}$:

\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \dfrac{\sqrt[5]{2^{4}}}{\sqrt[5]{2^{4}}} = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{16}}{2}.

Si volem una sola arrel, posem-ho a índex comú $10$: $\sqrt{3} = \sqrt[10]{3^{5}}$ i $\sqrt[5]{16} = \sqrt[10]{16^{2}} = \sqrt[10]{256}$, i obtenim $\dfrac{\sqrt[10]{3^{5} \cdot 2^{8}}}{2}$.

(c) Tipus 3. Multipliquem pel conjugat $\sqrt{3} + \sqrt{2}$:

\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 2\sqrt{6} + 4.

(d) Tipus 3 amb conjugat $\sqrt{3} - 3$:

\dfrac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 3)}{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 3)} = \dfrac{2\sqrt{3} - 6 + 3 - 3\sqrt{3}}{3 - 9} = \dfrac{-3 - \sqrt{3}}{-6} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}.

$2\sqrt{2}$ · $\dfrac{\sqrt[10]{3^{5} \cdot 2^{8}}}{2}$ · $2\sqrt{6} + 4$ · $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}$.

36 Operacions amb racionalització

Resol les operacions següents (combina simplificació de radicals i racionalització).

$\dfrac{\sqrt{45} - \sqrt{15}}{\sqrt{15} + \sqrt{80} - \sqrt{5}}$
$\dfrac{\sqrt{28} - 6}{6 + \sqrt{63} - \sqrt{7}}$

Mostrar solució

(a) Simplifiquem cada arrel: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$. Llavors:

\dfrac{3\sqrt{5} - \sqrt{15}}{\sqrt{15} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5} - \sqrt{15}}{\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}.

Multipliquem pel conjugat $\sqrt{15} - 3\sqrt{5}$:

\dfrac{(3\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{15} - 3\sqrt{5})}{(\sqrt{15})^{2} - (3\sqrt{5})^{2}} = \dfrac{30\sqrt{3} - 60}{15 - 45} = \dfrac{30\sqrt{3} - 60}{-30} = 2 - \sqrt{3}.

Detall del numerador: $(3\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{15} - 3\sqrt{5}) = -(3\sqrt{5} - \sqrt{15})^{2} = -(45 - 6\sqrt{75} + 15) = -60 + 30\sqrt{3}$.

(b) Simplifiquem $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ i $\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$:

\dfrac{2\sqrt{7} - 6}{6 + 3\sqrt{7} - \sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{7} - 6}{6 + 2\sqrt{7}} = \dfrac{2(\sqrt{7} - 3)}{2(3 + \sqrt{7})} = \dfrac{\sqrt{7} - 3}{3 + \sqrt{7}}.

Multipliquem pel conjugat $3 - \sqrt{7}$:

\dfrac{(\sqrt{7} - 3)(3 - \sqrt{7})}{(3)^{2} - (\sqrt{7})^{2}} = \dfrac{6\sqrt{7} - 16}{2} = 3\sqrt{7} - 8.

(a) $= 2 - \sqrt{3}$ · (b) $= 3\sqrt{7} - 8$.