Potència i arrel n-èsima
Potència
Una potència és una notació per escriure moltes multiplicacions del mateix factor:
on $a$ s'anomena base i $n$ exponent.
Arrel n-èsima
L'arrel n-èsima d'$a$ és el nombre $b$ tal que $b^{n} = a$:
Compte amb el signe: per a $n$ parell, l'arrel només té sentit si $a \ge 0$, i convenim que el resultat és el valor positiu. Per exemple, $\sqrt{4} = 2$ (i no $-2$). Per a $n$ senar sí que existeix per a $a$ negatius: $\sqrt[3]{-8} = -2$ perquè $(-2)^{3} = -8$.
Propietats de les potències
Resum amb exemples
| Propietat | Expressió | Exemple |
|---|---|---|
| Producte mateixa base | $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m}$ | $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128$ |
| Quocient mateixa base | $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$ | $\dfrac{2^{5}}{2^{2}} = 2^{3} = 8$ |
| Potència d'una potència | $(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$ | $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64$ |
| Potència d'un producte | $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ | $(2 \cdot 3)^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ |
| Potència d'un quocient | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ | $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}$ |
| Exponent negatiu | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ | $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ |
| Exponent fraccionari | $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^{p}}$ | $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^{2}} = 4$ |
| Exponent zero | $a^{0} = 1$ ($a \neq 0$) | $5^{0} = 1$ |
Propietats de les arrels
Resum amb exemples
| Propietat | Expressió | Exemple |
|---|---|---|
| Producte mateix índex | $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ | $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ |
| Quocient mateix índex | $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ | $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$ |
| Potència d'una arrel | $\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ | $\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{4} = \sqrt{3^{4}} = 9$ |
| Arrel d'una arrel | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ | $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2$ |
| Arrel com a potència fraccionària | $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}$ | $\sqrt[3]{8^{2}} = 8^{2/3} = 4$ |
| Simplificació de l'índex | $\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n/k]{a^{m/k}}$ (si $k$ divideix $n$ i $m$) | $\sqrt[6]{4^{2}} = \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^{2}}$ |
La idea unificadora és passar-ho tot a potències amb exponent fraccionari. Així només has de recordar les propietats de les potències.
Exercicis
Practiquem operacions amb potències i arrels. Cada enunciat porta la solució amagada — intenta resoldre'l abans de desplegar-la.
Fes les operacions següents. Després, comprova els resultats amb una eina tecnològica.
- $\sqrt[5]{125 \cdot 50 \cdot 32}$
- $\sqrt[5]{0{,}0000004}$
- $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}$
- $\sqrt[5]{(243)^{2} \cdot (64)^{-3}}$
- $\sqrt[5]{(243)^{2/3} \cdot (64)^{-1/2}}$
- $\dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{27^{2}}}{9^{-2}}$
Mostrar solució
(a) Descomposem en factors primers: $125 = 5^{3}$, $50 = 2 \cdot 5^{2}$, $32 = 2^{5}$, així el producte és $2^{6} \cdot 5^{5}$.
(b) $0{,}0000004 = \dfrac{4}{10^{7}} = \dfrac{2^{2}}{2^{7} \cdot 5^{7}} = \dfrac{1}{2^{5} \cdot 5^{7}}$.
(c) Treballem de dins cap a fora: $2\sqrt{2} = 2^{3/2}$, $2\sqrt{2^{3/2}} = 2^{7/4}$, $2\sqrt{2^{7/4}} = 2^{15/8}$, i finalment $\sqrt{2^{15/8}} = 2^{15/16}$.
(d) $243 = 3^{5}$, $64 = 2^{6}$. L'expressió és $\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{-18}} = 3^{2} \cdot 2^{-18/5} = \dfrac{9}{2^{3} \sqrt[5]{2^{3}}} = \dfrac{9}{8\,\sqrt[5]{8}}$. Racionalitzem amb $\sqrt[5]{2^{2}}$:
(e) $\sqrt[5]{(3^{5})^{2/3} \cdot (2^{6})^{-1/2}} = \sqrt[5]{3^{10/3} \cdot 2^{-3}} = 3^{2/3} \cdot 2^{-3/5} = \dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[5]{8}}$.
(f) $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, $\sqrt[5]{27^{2}} = 3^{6/5}$, $9^{-2} = 3^{-4}$. Llavors:
Donat el nombre d'or $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, comprova que $\varphi^{2} = \varphi + 1$.
Mostrar solució
Calculem $\varphi^{2}$ desenvolupant el quadrat:
Calculem $\varphi + 1$ buscant denominador comú:
Aquesta és l'equació característica del nombre d'or i la base de moltes de les seves propietats geomètriques.
Fes les operacions següents.
- $\dfrac{1}{5}\sqrt{54} - \dfrac{1}{2}\sqrt{18} + \dfrac{1}{10}\sqrt{24}$
- $\sqrt{\dfrac{1}{2}} + \sqrt{32} - \dfrac{1}{3\sqrt{8}}$
- $3\sqrt{x} - \sqrt{4x} + 2\sqrt{36x} - 5\sqrt{x - \tfrac{9x}{25}}$
- $\sqrt{\tfrac{2}{3}} + \sqrt{\tfrac{1}{3}} + \sqrt{\tfrac{1}{3}} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\tfrac{1}{12}}$
- $\sqrt{18y} - \sqrt{2y} + \tfrac{5}{2}\sqrt{8y} - \tfrac{4}{3}\sqrt{9y}$
- $\sqrt{\tfrac{2x}{8}} + \sqrt{\tfrac{2x}{8}} + \sqrt{\tfrac{2x}{3}} + \sqrt{\tfrac{2}{45}} - \sqrt{\tfrac{48}{16}}$
Mostrar solució dels apartats clau
(a) $\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Compte: el primer terme és resta al segon i suma al tercer; els radicals semblants ($\sqrt{6}$ amb $\sqrt{6}$) es combinen, i $\sqrt{2}$ queda sol.
(e) $\sqrt{18y} = 3\sqrt{2y}$, $\sqrt{8y} = 2\sqrt{2y}$, $\sqrt{9y} = 3\sqrt{y}$.
Pels altres apartats l'estratègia és la mateixa: factoritzar dins del radical (treure quadrats perfectes) i ajuntar els radicals semblants.
Calcula:
Mostrar solució
Simplifiquem cada terme aïlladament:
- $5\sqrt{a - \tfrac{9a}{25}} = 5\sqrt{\tfrac{16a}{25}} = 5 \cdot \tfrac{4}{5}\sqrt{a} = 4\sqrt{a}$.
- $\tfrac{1}{2}\sqrt{a^{3}b} = \tfrac{1}{2} \cdot a\sqrt{ab} = \tfrac{a}{2}\sqrt{ab}$.
- $\tfrac{1}{b}\sqrt{ab^{3}} = \tfrac{1}{b} \cdot b\sqrt{ab} = \sqrt{ab}$.
- $\tfrac{a}{3}\sqrt{9b} = \tfrac{a}{3} \cdot 3\sqrt{b} = a\sqrt{b}$.
- $\sqrt{36b} = 6\sqrt{b}$.
Substituïm i agrupem termes semblants:
Resol:
Mostrar solució
Escrivim cada factor com a potència de $12$:
- $\sqrt{12} = 12^{1/2}$, $\sqrt[3]{12} = 12^{1/3}$, $\sqrt[6]{12} = 12^{1/6}$.
- $\sqrt{12\sqrt{12}} = \sqrt{12 \cdot 12^{1/2}} = \sqrt{12^{3/2}} = 12^{3/4}$.
- $12 \cdot \sqrt[4]{12} = 12^{1} \cdot 12^{1/4} = 12^{5/4}$.
Sumem exponents al numerador (denominador comú $12$):
Quocient final:
Simplifica les expressions següents.
- $\sqrt{50\,a^{4}\,b\,c^{2}} \cdot \sqrt[3]{5bc}$
- $\sqrt{a^{2} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a^{2}}}}$
- $\sqrt{\tfrac{1}{3}\,\sqrt[3]{3^{5} \cdot \sqrt{\tfrac{1}{3} \cdot \sqrt{27}}}}$
- $\sqrt{a^{5} \cdot \sqrt{\tfrac{1}{x} \cdot \sqrt{a^{3}}}}$
- $\left(\sqrt{\tfrac{1}{x} \cdot \sqrt[4]{x \cdot \sqrt{x^{8} \cdot \sqrt[3]{\tfrac{1}{x} \cdot \sqrt{x}}}}}\right)^{7}$
- $\dfrac{\sqrt{\sqrt[15]{x^{5}\,y^{3}}}}{\sqrt[3]{\sqrt[15]{x^{5}\,y^{3}}}}$
- $\dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{\tfrac{1}{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{\tfrac{1}{2}}}$
- $\sqrt{\tfrac{a}{3b}} \cdot \left(\sqrt[3]{\tfrac{3b^{3}}{a^{2}}} \cdot \sqrt{\tfrac{3}{27}}\right)$
Mostrar solució dels apartats e i g
(e) Es tracta de simplificar progressivament cada arrel, treballant de dins cap a fora amb $x$ com a base. La cadena d'arrels niades fa que el grau total acabi sent $\sqrt[64]{\,\cdot\,}$, i el contingut s'agrupa en una potència gran de $x$. El resultat final és:
(g) Passem cada terme a potència fraccionària de $x$:
- Numerador: $\dfrac{1}{x} \cdot x^{2/3} \cdot x^{-1/2} = x^{-1 + 2/3 - 1/2} = x^{-5/6}$.
- Denominador: $x^{-1/2} \cdot x^{1/3} \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}$. La part de potències és $x^{-1/2 + 1/3} = x^{-1/6}$.
Quocient: $\dfrac{x^{-5/6}}{x^{-1/6} \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2 \, x^{-5/6 + 1/6}}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \cdot x^{-2/3} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$.
Per als altres apartats, l'estratègia és la mateixa: convertir cada radical a potència fraccionària, agrupar exponents per base i treure factors fora del radical quan es pugui.