Conjunts numèrics
Racionals
Els racionals $\mathbb{Q}$ són els nombres que es poden representar en forma de fracció:
Inclouen els enters ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, perquè $n = \tfrac{n}{1}$), els decimals exactes (per exemple $0{,}25 = \tfrac{1}{4}$) i els decimals periòdics ($0{,}\overline{3} = \tfrac{1}{3}$).
Irracionals
Els irracionals $\mathbb{I}$ són els nombres que no es poden expressar com a fracció. Tenen una expansió decimal infinita i no periòdica.
Exemples típics: arrels no exactes ($\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{5}$), logaritmes irracionals ($\log_{2} 3$), constants matemàtiques com $\pi$, $e$ o $\varphi$ (raó àuria), i decimals construïts com $1{,}010010001\ldots$
Reals
Els reals són la unió dels racionals i els irracionals:
Tots els conjunts numèrics que has vist abans encaixen en aquesta jerarquia: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$, amb $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ i $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing$.
Demostració: $\sqrt{2}$ és irracional
Mostrem que $\sqrt{2}$ no es pot escriure com una fracció. La idea és raonar per absurd: suposem que sí que es pot, i arribem a una contradicció.
Raonament per absurd
Suposem que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Aleshores existeix una fracció irreductible $\dfrac{a}{b}$ (amb $a$ i $b$ enters sense factors comuns) tal que:
Elevem al quadrat tots dos costats:
Llavors $a^{2}$ és parell, i com que el quadrat d'un imparell és imparell, $a$ també ha de ser parell. Posem $a = 2k$ amb $k \in \mathbb{Z}$. Substituint:
Per tant $b^{2}$ també és parell, i en conseqüència $b$ també ho és.
Però acabem de concloure que tant $a$ com $b$ són parells, és a dir, comparteixen el factor $2$, en contradicció amb la hipòtesi inicial que $\dfrac{a}{b}$ era irreductible. ⚡
La contradicció surt d'haver suposat que $\sqrt{2}$ era racional; per tant aquesta hipòtesi és falsa i $\sqrt{2}$ és irracional. $\blacksquare$
Intervals
Definició
Un interval representa un conjunt de valors reals compresos entre dos extrems. Segons si els extrems hi pertanyen o no, l'interval pot ser obert, tancat o semiobert.
- Obert: els extrems no hi pertanyen — s'escriu amb parèntesi: $(a, b)$.
- Tancat: els extrems sí que hi pertanyen — s'escriu amb claudàtor: $[a, b]$.
- Semiobert: un extrem hi pertany i l'altre no — $[a, b)$ o $(a, b]$.
- No fitats: pot aparèixer $-\infty$ o $+\infty$, sempre amb parèntesi (l'infinit no és un nombre).
Exemples
| Interval | Inequació | Recta real |
|---|---|---|
| $(-3,\, 2)$ | $-3 < x < 2$ | |
| $[-3,\, 2]$ | $-3 \le x \le 2$ | |
| $(-3,\, 2]$ | $-3 < x \le 2$ | |
| $(-3,\, +\infty)$ | $x > -3$ |
Operacions amb conjunts
Definicions
Donats dos conjunts (en particular, dos intervals) $A$ i $B$ dins de l'espai real $\mathbb{R}$:
- La unió $A \cup B$ és el conjunt dels elements que són d'$A$ o de $B$ (o de tots dos).
- La intersecció $A \cap B$ és el conjunt dels elements que són d'$A$ i de $B$ alhora.
- El complementari $\bar{A}$ (o $A^{c}$) és el conjunt dels elements de $\mathbb{R}$ que no són d'$A$.
Exemple guiat
Sigui $A = (-3,\, 2)$ i $B = [0,\, 4]$.
A partir del dibuix:
- Unió: agafem tot el que estigui ratllat per A o per B.
$$A \cup B = (-3,\, 4].$$
- Intersecció: només la part que comparteixen els dos intervals.
$$A \cap B = [0,\, 2).$$
- Complementari d'$A$: tot el que no és d'$A$ dins de $\mathbb{R}$.
$$\bar{A} = (-\infty,\, -3] \cup [\,2,\, +\infty).$$
Propietats del complementari
$A \cup \bar{A} = \mathbb{R}$ (un nombre o és d'$A$ o no ho és, no hi ha terme mig).
$A \cap \bar{A} = \varnothing$ (un nombre no pot ser i no ser d'$A$ alhora).
Aquestes operacions són les mateixes que es fan servir en probabilitat (unitat 9): un succés i el seu contrari, la unió de successos compatibles, la intersecció…