Definició
Valor absolut
El valor absolut d'un nombre és sempre positiu o zero. Per exemple, $|+5| = 5$ i $|-5| = 5$. Definició formal:
Quan $a$ és una expressió que depèn de $x$, el seu signe canvia en els punts on l'expressió s'anul·la — els punts crítics. Aquests punts ens diran on hem de "trencar" l'equació.
Estratègia general
Cas senzill $\;|E(x)| = k\;$ (amb $k > 0$ constant): no calen punts crítics. Es resol directament obrint en dos casos:
Cas general $\;|E_1(x)| \pm |E_2(x)| \pm \dots = F(x)$: igualem cada argument a $0$ per trobar els punts crítics; aquests punts parteixen la recta real en intervals. Dins de cada interval, els arguments tenen signe constant — per tant podem treure els valors absoluts (posant $+$ o $-$ segons el signe), resoldre l'equació lineal resultant i verificar que el valor obtingut pertany a l'interval que estàvem analitzant.
Comprovació imprescindible
Cada solució que trobem en un interval només és vàlida si cau dins d'aquell mateix interval. Si no, és una solució extranya generada pel canvi de signe i s'ha de descartar.
Exemple 1 — Cas senzill $|E(x)| = k$
$|2x+1| = 5$
Com que el costat dret és constant i positiu, obrim en dos casos sense necessitat de punts crítics:
Verificació: $\;|2\cdot 2 + 1| = |5| = 5$ ✓ i $|2\cdot(-3)+1| = |-5| = 5$ ✓.
Exemple 2 — Mètode dels punts crítics: $|E(x)| = F(x)$
$|3x+6| = x+3$
Igualem l'argument del valor absolut a $0$ per trobar el punt crític:
Aquest punt parteix la recta en dos intervals: $x < -2$ i $x > -2$.
Cas 1 — si $x < -2$: l'argument $3x+6$ és negatiu, així que $|3x+6| = -(3x+6) = -3x-6$. L'equació esdevé:
Comprovació de pertinença: $-\tfrac{9}{4} = -2{,}25 < -2$ ✓. Solució vàlida.
Cas 2 — si $x > -2$: l'argument és positiu, així que $|3x+6| = 3x+6$. L'equació esdevé:
Comprovació: $-\tfrac{3}{2} = -1{,}5 > -2$ ✓. Solució vàlida.
Verificació a l'equació original:
$x = -\tfrac{9}{4}$: $\;|3(-\tfrac{9}{4})+6| = |-\tfrac{27}{4} + \tfrac{24}{4}| = \tfrac{3}{4}\,$ i $\,-\tfrac{9}{4} + 3 = \tfrac{3}{4}$ ✓.
$x = -\tfrac{3}{2}$: $\;|3(-\tfrac{3}{2})+6| = |\tfrac{3}{2}| = \tfrac{3}{2}\,$ i $\,-\tfrac{3}{2} + 3 = \tfrac{3}{2}$ ✓.
Exemple 3 — Diversos valors absoluts (4 intervals)
$|2x+2| - |3x-6| = |x-4|$
Tenim tres valors absoluts. Igualant cada argument a $0$ trobem els punts crítics:
Aquests tres punts parteixen la recta en quatre intervals: $\;x < -1,\;\; -1 < x < 2,\;\; 2 < x < 4,\;\; x > 4$. Resolem cada cas amb els signes adequats.
Cas 1 — si $x < -1$: els tres arguments són negatius. L'equació esdevé:
Però $x = 6 \not< -1$ → descarta.
Cas 2 — si $-1 < x < 2$: el primer argument és positiu, els altres dos negatius:
$\tfrac{4}{3} \approx 1{,}33$ pertany a $(-1, 2)$ ✓. Solució vàlida.
Cas 3 — si $2 < x < 4$: els dos primers positius, l'últim negatiu:
Equació impossible → cap solució en aquest interval.
Cas 4 — si $x > 4$: els tres arguments positius:
$x = 6 > 4$ ✓. Solució vàlida.
Resum dels quatre casos:
| Interval | Equació lineal | Candidat | Vàlid? |
|---|---|---|---|
| $x < -1$ | $x - 8 = -x + 4$ | $x = 6$ | no (no compleix $x<-1$) |
| $-1 < x < 2$ | $5x - 4 = -x + 4$ | $x = \tfrac{4}{3}$ | sí |
| $2 < x < 4$ | $0 \cdot x = -4$ | — | impossible |
| $x > 4$ | $-x + 8 = x - 4$ | $x = 6$ | sí |
Verificació a l'equació original:
$x = \tfrac{4}{3}$: $\;|\tfrac{8}{3}+2| - |4-6| = \tfrac{14}{3} - 2 = \tfrac{8}{3}\,$ i $\,|\tfrac{4}{3}-4| = \tfrac{8}{3}$ ✓.
$x = 6$: $\;|14| - |12| = 14 - 12 = 2\,$ i $\,|6-4| = 2$ ✓.