6. Equacions irracionals · Equacions i sistemes

Idea: aïllar l'arrel i elevar al quadrat

Equació irracional

Anomenem equacions irracionals les que tenen la incògnita dins d'una arrel quadrada (o, més en general, dins d'un radical).

Per exemple: $\;\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-3} = \sqrt{5-x}\;$ o $\;3 + \sqrt{x^{2}-3} = x^{2}$.

Estratègia general (3 passos)

1) Aïllar una arrel en un dels dos costats de la igualtat.

2) Elevar al quadrat tots dos costats per fer-la desaparèixer. Si encara queden arrels (perquè en teníem dues o tres), tornem a aïllar i a elevar.

3) Resoldre l'equació polinòmica resultant i verificar totes les solucions a l'equació original.

Productes notables que usarem sovint

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}, \qquad (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.

Quan elevem al quadrat una expressió amb una arrel sumada (o restada) a un altre terme, sempre apareix el doble producte $\;2ab$ amb una arrel dins.

Verificació imprescindible — soluciones extranyes

Elevar al quadrat no és una operació reversible: pot crear solucions que no satisfan l'equació original (les anomenem extranyes, igual que a les racionals). En particular, si en aïllar una arrel queda $\;\sqrt{\,\cdot\,} = E\;$ amb $\,E < 0$, aquella branca no aporta cap solució vàlida.

Cal substituir sempre els valors candidats a l'equació original. Si algun no encaixa, es descarta.

Exemple treballat (tres arrels, sense solució)

$\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-3} = \sqrt{5-x}$

Tenim tres arrels; haurem d'elevar al quadrat dues vegades. Comencem elevant directament:

\bigl(\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-3}\bigr)^{2} = \bigl(\sqrt{5-x}\bigr)^{2}.

(2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(x-3)} + (x-3) = 5 - x.

Aïllem l'arrel que queda i agrupem:

2\sqrt{(2x-1)(x-3)} = 5 - x - 2x + 1 - x + 3 = 9 - 4x.

Tornem a elevar al quadrat:

\bigl(2\sqrt{(2x-1)(x-3)}\bigr)^{2} = (9-4x)^{2}.

4(2x-1)(x-3) = 81 - 72x + 16x^{2}.

Desenvolupem el costat esquerre: $\;(2x-1)(x-3) = 2x^{2} - 7x + 3$, així que $\;4(2x^{2}-7x+3) = 8x^{2} - 28x + 12$. Igualant:

8x^{2} - 28x + 12 = 16x^{2} - 72x + 81 \;\Longrightarrow\; 0 = 8x^{2} - 44x + 69.

Discriminant: $\;\Delta = 44^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 69 = 1936 - 2208 = -272 < 0$. L'equació quadràtica no té cap arrel real, i per tant l'equació original tampoc.

\boxed{\;\text{No té solució.}\;}

Aquí és la mateixa quadràtica final qui ens diu que no hi ha solució — no cal ni arribar a verificar.

Exercicis

36 Resol les equacions irracionals següents

Després, comprova amb GeoGebra els resultats que has obtingut.

a) $x + \sqrt{x+1} = 2x - 1$

Aïllem l'arrel: $\;\sqrt{x+1} = x - 1$. Elevem al quadrat:

x + 1 = (x-1)^{2} = x^{2} - 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 0 = x^{2} - 3x = x(x-3).

Candidats: $x = 0$ o $x = 3$.

Verificació: $x = 0$: $\;0 + \sqrt{1} = 1 \neq -1$ → descarta. $x = 3$: $\;3 + \sqrt{4} = 5 = 2\cdot 3 - 1$ ✓.

\boxed{\;x = 3.\;}

b) $3 + \sqrt{x^{2}-3} = x^{2}$

Aïllem l'arrel: $\;\sqrt{x^{2}-3} = x^{2} - 3$. Elevem al quadrat:

x^{2} - 3 = (x^{2})^{2} - 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 9 = x^{4} - 6x^{2} + 9.

0 = x^{4} - 7x^{2} + 12.

És una biquadrada. Canvi $\,x^{2} = t$:

0 = t^{2} - 7t + 12 = (t-3)(t-4) \;\Longrightarrow\; t = 3 \text{ o } t = 4.

Desfent el canvi: $\;x = \pm\sqrt{3}\,$ o $\,x = \pm 2$.

Verificació: tots quatre valors compleixen $x^{2}-3 \geq 0$ i $x^{2}-3 \geq 0$ (la part dreta després d'aïllar). Es comprova: $\,3 + \sqrt{0} = 3 = (\pm\sqrt{3})^{2}\,$ ✓ i $\,3 + \sqrt{1} = 4 = (\pm 2)^{2}\,$ ✓.

\boxed{\;x = \pm\sqrt{3}\ \text{o}\ x = \pm 2.\;}

c) $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} = 1$

Aïllem una arrel: $\;\sqrt{x+1} = 1 - \sqrt{x}$. Elevem al quadrat:

x + 1 = 1 - 2\sqrt{x} + x \;\Longrightarrow\; 0 = -2\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; \sqrt{x} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0.

Verificació: $\sqrt{0} + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1$ ✓.

\boxed{\;x = 0.\;}

d) $\sqrt{7-3x} - x = 7$

Aïllem l'arrel: $\;\sqrt{7-3x} = x + 7$. Elevem al quadrat:

7 - 3x = (x+7)^{2} = x^{2} + 14x + 49 \;\Longrightarrow\; 0 = x^{2} + 17x + 42.

x = \dfrac{-17 \pm \sqrt{289 - 168}}{2} = \dfrac{-17 \pm 11}{2} \;\Rightarrow\; x = -3\ \text{o}\ x = -14.

Verificació: $x = -3$: $\;\sqrt{16} - (-3) = 4 + 3 = 7$ ✓. $x = -14$: $\;\sqrt{49} - (-14) = 7 + 14 = 21 \neq 7$ → descarta.

\boxed{\;x = -3.\;}

e) $3\sqrt{6x+1} - 5 = 2x$

Aïllem l'arrel: $\;3\sqrt{6x+1} = 2x + 5$. Elevem al quadrat:

9(6x+1) = (2x+5)^{2} \;\Longrightarrow\; 54x + 9 = 4x^{2} + 20x + 25.

0 = 4x^{2} - 34x + 16 \;\Longrightarrow\; 0 = 2x^{2} - 17x + 8.

x = \dfrac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \dfrac{17 \pm 15}{4} \;\Rightarrow\; x = 8\ \text{o}\ x = \tfrac{1}{2}.

Verificació: $x = 8$: $\;3\sqrt{49} - 5 = 21 - 5 = 16 = 2\cdot 8$ ✓. $x = \tfrac{1}{2}$: $\;3\sqrt{4} - 5 = 6 - 5 = 1 = 2\cdot\tfrac{1}{2}$ ✓.

\boxed{\;x = 8\ \text{o}\ x = \tfrac{1}{2}.\;}

f) $\sqrt{x+4} = 3 - \sqrt{x-1}$

Elevem al quadrat directament:

x + 4 = 9 - 6\sqrt{x-1} + (x-1) = 8 + x - 6\sqrt{x-1}.

Aïllem l'arrel restant: $\;-4 = -6\sqrt{x-1} \;\Rightarrow\; \sqrt{x-1} = \dfrac{2}{3}$. Elevem al quadrat:

x - 1 = \dfrac{4}{9} \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{13}{9}.

Verificació: $\sqrt{\tfrac{13}{9}+4} = \sqrt{\tfrac{49}{9}} = \tfrac{7}{3}$, $3 - \sqrt{\tfrac{13}{9}-1} = 3 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{7}{3}$ ✓.

\boxed{\;x = \dfrac{13}{9}.\;}

37 Resol les equacions següents

Comprova amb GeoGebra els resultats que has obtingut.

a) $x + \sqrt{x+1} - 2x = 1$

Simplifiquem: $\;-x + \sqrt{x+1} = 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{x+1} = x + 1$. Elevem al quadrat:

x + 1 = (x+1)^{2}.

Sigui $u = x+1$: $\;u = u^{2} \Rightarrow u(u-1) = 0 \Rightarrow u = 0$ o $u = 1$. Així $\,x = -1$ o $\,x = 0$.

Verificació: $x=-1$: $\;-1 + \sqrt{0} - (-2) = -1 + 0 + 2 = 1$ ✓. $x=0$: $\;0 + \sqrt{1} - 0 = 1$ ✓.

\boxed{\;x = -1\ \text{o}\ x = 0.\;}

b) $\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = \sqrt{4x+1}$

Elevem al quadrat directament:

(x-3) + 2\sqrt{(x-3)(x+4)} + (x+4) = 4x + 1.

Aïllem l'arrel: $\;2\sqrt{(x-3)(x+4)} = 4x + 1 - 2x - 1 = 2x \;\Rightarrow\; \sqrt{(x-3)(x+4)} = x$. Elevem al quadrat:

(x-3)(x+4) = x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} + x - 12 = x^{2} \;\Longrightarrow\; x = 12.

Verificació: $\;\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 = \sqrt{49}$ ✓.

\boxed{\;x = 12.\;}

c) $x - \sqrt{x^{2}-3} = \sqrt{x-1}$

Elevem al quadrat:

\bigl(x - \sqrt{x^{2}-3}\bigr)^{2} = x - 1 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 2x\sqrt{x^{2}-3} + (x^{2}-3) = x - 1.

Aïllem l'arrel: $\;2x^{2} - 3 - x + 1 = 2x\sqrt{x^{2}-3} \;\Rightarrow\; 2x^{2} - x - 2 = 2x\sqrt{x^{2}-3}$. Elevem al quadrat:

(2x^{2} - x - 2)^{2} = 4x^{2}(x^{2} - 3).

4x^{4} - 4x^{3} - 7x^{2} + 4x + 4 = 4x^{4} - 12x^{2}.

0 = 4x^{3} - 5x^{2} - 4x - 4.

Per Ruffini provem $x = 2$: $\,32 - 20 - 8 - 4 = 0$ ✓. Llavors $\,4x^{3} - 5x^{2} - 4x - 4 = (x-2)(4x^{2} + 3x + 2)$, i la quadràtica té $\Delta = 9 - 32 < 0$, sense més arrels reals.

Verificació: $x = 2$: $\;2 - \sqrt{1} = 1 = \sqrt{1}$ ✓.

\boxed{\;x = 2.\;}

d) $\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{x+1}{2}$

Multipliquem tot per $\,2\sqrt{x}\,$ (condició $x > 0$):

2x + 2 = \sqrt{x}\,(x+1).

Elevem al quadrat:

(2x+2)^{2} = x\,(x+1)^{2} \;\Longrightarrow\; 4x^{2} + 8x + 4 = x^{3} + 2x^{2} + x.

0 = x^{3} - 2x^{2} - 7x - 4.

Per Ruffini provem $x = 4$: $\,64 - 32 - 28 - 4 = 0$ ✓. Llavors $\,x^{3} - 2x^{2} - 7x - 4 = (x-4)(x^{2} + 2x + 1) = (x-4)(x+1)^{2}$. Candidats: $x = 4$ i $x = -1$ (doble).

Verificació: $x = -1$: $\sqrt{-1}$ no està definit → descarta. $x = 4$: $\;\sqrt{4} + \tfrac{1}{\sqrt{4}} = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2} = \tfrac{4+1}{2}$ ✓.

\boxed{\;x = 4.\;}