5. Equacions amb logaritmes · Equacions i sistemes

Idea: treure els logaritmes

Les dues identitats clau

Per resoldre una equació amb logaritmes, la idea és desfer-se'n. Hi ha dues maneres d'aconseguir-ho:

1) Logaritme = logaritme (mateixa base als dos costats):

\log_{a}(B) = \log_{a}(C) \;\Longleftrightarrow\; B = C.

2) Logaritme = nombre (via la definició inversa):

\log_{a}(B) = C \;\Longleftrightarrow\; a^{C} = B.

Eines: les propietats dels logaritmes

Per arribar a una de les dues formes anteriors, sovint cal combinar logaritmes usant:

\log_{a}(BC) = \log_{a} B + \log_{a} C, \qquad \log_{a}\!\dfrac{B}{C} = \log_{a} B - \log_{a} C, \qquad \log_{a}(B^{n}) = n\,\log_{a} B.

Verificació final imprescindible

El logaritme només està definit per a arguments positius. Quan trobem una solució candidata, cal substituir-la a l'equació original i comprovar que cap argument de logaritme surti $\le 0$. Si surt, es descarta com a solució extranya.

Exemple treballat (per dues vies)

$\dfrac{\log_{3} 9^{x+1}}{x} = 1$

Multipliquem per $x$ per netejar el denominador:

\log_{3} 9^{x+1} = x.

A partir d'aquí, dues maneres d'arribar al mateix:

Via 1 — definició inversa ($\log_{a} B = C \Leftrightarrow a^{C} = B$):

3^{x} = 9^{x+1} = (3^{2})^{x+1} = 3^{2x+2}.

Igualant exponents: $\;x = 2x+2 \Longrightarrow x = -2$.

Via 2 — propietats del logaritme (treure exponents):

\log_{3} 9^{x+1} = \log_{3}\bigl(3^{2(x+1)}\bigr) = 2x+2.

Així $\;2x+2 = x \Longrightarrow x = -2$.

Verificació: $x = -2$: $9^{x+1} = 9^{-1} = \tfrac{1}{9}$ i $\log_{3}\tfrac{1}{9} = -2$. Llavors $\dfrac{-2}{-2} = 1$. ✓

\boxed{\;x = -2.\;}

Exercicis

2 Resol les següents equacions amb logaritmes

a) $\log_{x} 64 = 3$

Per definició inversa: $\;x^{3} = 64 \Rightarrow x = \sqrt[3]{64} = 4$.

Verificació: la base ha de ser $>0$ i $\neq 1$. $x = 4$ ✓.

\boxed{\;x = 4.\;}

b) $\log_{2} x + \log_{2}(x+3) = 2$

Sumem com a logaritme d'un producte:

\log_{2}\!\bigl[x(x+3)\bigr] = 2 \;\Longrightarrow\; x(x+3) = 2^{2} = 4.

x^{2}+3x-4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+4)(x-1) = 0.

$x = -4$ o $x = 1$. Verificació: $x = -4$ fa $\log_{2}(-4)$, no definit → descarta. $x = 1$ ✓ ($\log_{2} 1 + \log_{2} 4 = 0+2 = 2$).

\boxed{\;x = 1.\;}

c) $\log(2x-4) - \log(x+2) = 1$

Restem com a logaritme d'un quocient:

\log\!\dfrac{2x-4}{x+2} = 1 \;\Longrightarrow\; \dfrac{2x-4}{x+2} = 10.

2x-4 = 10(x+2) = 10x+20 \;\Longrightarrow\; -8x = 24 \;\Longrightarrow\; x = -3.

Verificació: $x=-3$ ⇒ $2x-4 = -10 < 0$, no podem fer $\log$ → descarta.

\boxed{\;\text{No té solució.}\;}

Cas didàctic: trobem un valor algebraic, però no és vàlid perquè el logaritme no està definit. Aquí veiem per què cal verificar sempre.

d) $\log x + \log 50 = \log 1000$

Sumem el costat esquerre:

\log(50x) = \log 1000 \;\Longrightarrow\; 50x = 1000 \;\Longrightarrow\; x = 20.

Verificació: $x = 20 > 0$ ✓.

\boxed{\;x = 20.\;}

e) $\log x = 1 + \log(22-x)$

Passem el $\log(22-x)$ a l'esquerra i el $1 = \log 10$:

\log x - \log(22-x) = 1 \;\Longrightarrow\; \log\!\dfrac{x}{22-x} = 1 \;\Longrightarrow\; \dfrac{x}{22-x} = 10.

x = 10(22-x) = 220 - 10x \;\Longrightarrow\; 11x = 220 \;\Longrightarrow\; x = 20.

Verificació: $x = 20 > 0$ ✓ i $22-x = 2 > 0$ ✓.

\boxed{\;x = 20.\;}

f) $2\log(x+1) - \log 2 = \log(x^{2}-1)$

Apliquem propietats:

\log(x+1)^{2} - \log 2 = \log(x^{2}-1) \;\Longrightarrow\; \log\!\dfrac{(x+1)^{2}}{2} = \log(x^{2}-1).

\dfrac{(x+1)^{2}}{2} = x^{2}-1 = (x-1)(x+1).

Si $x+1 \neq 0$, podem simplificar $(x+1)$ a banda i banda:

\dfrac{x+1}{2} = x-1 \;\Longrightarrow\; x+1 = 2x-2 \;\Longrightarrow\; x = 3.

Verificació: $x=3$: $x+1=4>0$ ✓, $x^{2}-1=8>0$ ✓. $2\log 4 - \log 2 = \log 16 - \log 2 = \log 8 = \log(9-1)$ ✓.

\boxed{\;x = 3.\;}

g) $\log(3x+1) - \log(2x-3) = 1 - \log 5$

Passem $\log 5$ a l'esquerra i agrupem:

\log(3x+1) - \log(2x-3) + \log 5 = 1 \;\Longrightarrow\; \log\!\dfrac{5(3x+1)}{2x-3} = 1.

\dfrac{5(3x+1)}{2x-3} = 10 \;\Longrightarrow\; 5(3x+1) = 10(2x-3).

15x+5 = 20x-30 \;\Longrightarrow\; 5x = 35 \;\Longrightarrow\; x = 7.

Verificació: $3x+1 = 22 > 0$ ✓, $2x-3 = 11 > 0$ ✓.

\boxed{\;x = 7.\;}

h) $2\log(2x+1) + 2\log(3x-4) = 2$

Dividim tot per $2$ (o, equivalentment, traiem els exponents i fem servir la propietat del producte):

\log(2x+1) + \log(3x-4) = 1 \;\Longrightarrow\; \log\!\bigl[(2x+1)(3x-4)\bigr] = 1.

(2x+1)(3x-4) = 10 \;\Longrightarrow\; 6x^{2}-5x-14 = 0.

x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25+336}}{12} = \dfrac{5 \pm 19}{12} \;\Rightarrow\; x = 2\ \text{o}\ x = -\tfrac{7}{6}.

Verificació: $x=2$: $2x+1=5>0$ ✓, $3x-4=2>0$ ✓. $x=-\tfrac{7}{6}$: $2x+1=-\tfrac{4}{3}<0$ → descarta.

\boxed{\;x = 2.\;}

i) $\log(40x) - \log(5x-1) = 1$

\log\!\dfrac{40x}{5x-1} = 1 \;\Longrightarrow\; \dfrac{40x}{5x-1} = 10.

40x = 10(5x-1) = 50x-10 \;\Longrightarrow\; -10x = -10 \;\Longrightarrow\; x = 1.

Verificació: $40x = 40 > 0$ ✓, $5x-1 = 4 > 0$ ✓.

\boxed{\;x = 1.\;}

j) $\log x + \log(x+5) = \log(9+x)$

\log\!\bigl[x(x+5)\bigr] = \log(9+x) \;\Longrightarrow\; x(x+5) = 9+x.

x^{2}+5x = 9+x \;\Longrightarrow\; x^{2}+4x-9 = 0.

x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16+36}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{52}}{2} = -2 \pm \sqrt{13}.

Verificació: $\sqrt{13} \approx 3{,}606$. $x = -2+\sqrt{13} \approx 1{,}606 > 0$ ✓. $x = -2-\sqrt{13} \approx -5{,}606 < 0$ → descarta ($\log x$ no definit).

\boxed{\;x = -2 + \sqrt{13}.\;}

k) $2\log_{2} x = -\log_{2} 3 + \log_{2}(x+10)$

Passem el $\log_{2} 3$ a l'esquerra i agrupem:

\log_{2} x^{2} + \log_{2} 3 = \log_{2}(x+10) \;\Longrightarrow\; \log_{2}(3x^{2}) = \log_{2}(x+10).

3x^{2} = x+10 \;\Longrightarrow\; 3x^{2}-x-10 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+120}}{6} = \dfrac{1 \pm 11}{6}.

$x = 2$ o $x = -\tfrac{5}{3}$. Verificació: $x=2>0$ ✓. $x=-\tfrac{5}{3}<0$ → descarta.

\boxed{\;x = 2.\;}