10. Propietats dels logaritmes · Nombres reals

Condicions

En tot l'apartat:

a, b \in (0,1) \cup (1,+\infty) \;\text{(bases)} \qquad c, d \in (0,+\infty) \qquad n \in \mathbb{N}

De fet, la propietat (3) de més avall funciona amb qualsevol exponent real, no només naturals: als deures la farem servir amb $n = \frac{1}{2}$ o $n = -2$.

Propietats bàsiques

Propietat	Per què
$\log_{a} 0$ no existeix	cap potència $a^{c}$ dona $0$
$\log_{a} 1 = 0$	$a^{0} = 1$
$\log_{a} a = 1$	$a^{1} = a$
$\log_{a} a^{n} = n$	l'exponent al qual s'eleva $a$ per obtenir $a^{n}$ és $n$
$\log_{a} (-c)$ no existeix	$a^{x}$ sempre és positiu

Propietats operatives

Les tres que farem servir

\begin{aligned} &\text{(1)} && \log_{a} c + \log_{a} d = \log_{a} (c \cdot d) \\[4pt] &\text{(2)} && \log_{a} c - \log_{a} d = \log_{a} \frac{c}{d} \\[4pt] &\text{(3)} && \log_{a} c^{n} = n \cdot \log_{a} c \end{aligned}

El logaritme converteix productes en sumes, quocients en restes i potències en productes.

D'on surt la (1)

Si $\log_{a} c = x$ i $\log_{a} d = y$, llavors $a^{x} = c$ i $a^{y} = d$. Multiplicant:

c \cdot d = a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y} \;\Longrightarrow\; \log_{a}(c \cdot d) = x + y = \log_{a} c + \log_{a} d

És la propietat de les potències $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}$, llegida al revés. La (2) i la (3) surten igual de $a^{x} : a^{y} = a^{x-y}$ i de $(a^{x})^{n} = a^{nx}$.

Compte: no hi ha cap propietat per a la suma de dins. $\log_{a}(c + d) \neq \log_{a} c + \log_{a} d$. Per exemple, $\log(10 + 10) = \log 20 \approx 1{,}301$, però $\log 10 + \log 10 = 2$.

Canvi de base

Fórmula del canvi de base

\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a}

Serveix per calcular amb la calculadora un logaritme de qualsevol base, fent servir les tecles log o ln.

Exemples

Exemple 1

\log_{3} 9 + \log_{3} 243 \overset{(1)}{=} \log_{3}(9 \cdot 243) = \log_{3}\left(3^{2} \cdot 3^{5}\right) = \log_{3} 3^{7} \overset{(3)}{=} 7 \cdot \log_{3} 3 = 7 \cdot 1 = 7

Exemple 2

2\log x - 3\log x \overset{(3)}{=} \log x^{2} - \log x^{3} \overset{(2)}{=} \log \frac{x^{2}}{x^{3}} = \log \frac{1}{x} = \log x^{-1} \overset{(3)}{=} -\log x

Exemple 3: una equació exponencial

Si la incògnita és a l'exponent, es fa el logaritme dels dos costats i la propietat (3) la fa baixar:

3^{x} = 5 \;\Longrightarrow\; \log_{3} 3^{x} = \log_{3} 5 \;\overset{(3)}{\Longrightarrow}\; x \cdot \log_{3} 3 = \log_{3} 5 \;\Longrightarrow\; x = \log_{3} 5

I amb el canvi de base es pot calcular:

x = \log_{3} 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3} \approx \frac{1{,}609}{1{,}099} \approx 1{,}465

Comprovació: $3^{1{,}465} \approx 5{,}00$.