4. Deures corregits (16 set) · Nombres reals

Nombres racionals i irracionals

1 Racional o irracional

Indica si aquests nombres són racionals o irracionals: $\sqrt{6}$; $2{,}234901$; $5{,}0\overline{4}$; $\pi$; $-5$.

Racionals, perquè es poden escriure com a fracció:

2{,}234901 \qquad 5{,}0\overline{4} \qquad -5

El primer és un decimal exacte, el segon és periòdic i el tercer és un enter ($-5 = \tfrac{-5}{1}$).

Irracionals, perquè tenen infinits decimals sense període:

\sqrt{6} \qquad \pi

$\sqrt{6}$ no és exacta: $6$ no és un quadrat perfecte.

2 Col·locar els nombres al diagrama

Col·loca aquests nombres al diagrama de $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$: $\;0{,}\overline{92}$; $\sqrt[3]{-8}$; $\sqrt{2}$; $\tfrac{8}{5}$; $-7$; $\tfrac{12}{25}$; $-1{,}\overline{9}$; $\pi$; $3$; $\dfrac{2-\sqrt{2}}{3}$; $\sqrt[4]{16}$; $11{,}3$; $0{,}1010010001\ldots$; $2{,}3\overline{5}$.

Veure el diagrama resolt

$\mathbb{N}$$3$$\sqrt[4]{16}$

$\mathbb{Z}$$\sqrt[3]{-8}$$-7$$-1{,}\overline{9}$

$\mathbb{Q}$$0{,}\overline{92}$$\tfrac{8}{5}$$\tfrac{12}{25}$$11{,}3$$2{,}3\overline{5}$

$\mathbb{R}$$\sqrt{2}$$\pi$$\dfrac{2-\sqrt{2}}{3}$$0{,}1010010001\ldots$

Cada nombre va al conjunt més petit que el conté. Els tres que enganyen:

→ $\sqrt[4]{16} = 2$, que és natural, no irracional.

→ $\sqrt[3]{-8} = -2$: amb índex senar l'arrel d'un negatiu existeix, i aquí surt un enter.

→ $-1{,}\overline{9} = -2$. Un $9$ periòdic no s'acosta al $-2$: hi és igual, i per tant el nombre és enter.

A la banda de $\mathbb{R}$ hi queden només els irracionals: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\dfrac{2-\sqrt{2}}{3}$ (un irracional dividit i sumat amb racionals segueix sent irracional) i $0{,}1010010001\ldots$, que té infinits decimals sense període.

Intervals i entorns

Entorn

L'entorn de centre $a$ i radi $r$ és l'interval obert que va de $a - r$ a $a + r$:

E(a,\, r) = (a - r,\; a + r)

1 Representa els intervals

De cada interval, la forma algebraica i la representació a la recta real.

a) $[-3,\, 4)$

\{-3 \le x < 4 \mid x \in \mathbb{R}\}

b) $(-10,\, -5)$

\{-10 < x < -5 \mid x \in \mathbb{R}\}

c) $[-100,\, 200]$

\{-100 \le x \le 200 \mid x \in \mathbb{R}\}

e) $E(0,\, 2)$

Centre $0$ i radi $2$, o sigui de $0-2$ a $0+2$:

E(0,\, 2) = (-2,\, 2) = \{-2 < x < 2 \mid x \in \mathbb{R}\}

Els apartats d, f i g de l'exercici queden per acabar.