Problema 8 · La urna con bolas azules
Probabilidad con reposición y una ecuación de segundo grado.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoUna urna contiene una bola negra, cuatro bolas blancas y algunas bolas azules (más de una). Se extrae una bola al azar de esta urna, se anota su color y se devuelve a la urna. A continuación, se extrae otra bola al azar de esta urna. ¿Para qué número de bolas azules la probabilidad de que las dos bolas extraídas tengan el mismo color es igual a $1/2$?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: con reposición, las dos extracciones son independientes: $P(\text{mismo color}) = \sum P(\text{color})^{2}$.
Con $b$ bolas azules hay $b + 5$ bolas en total:
$$P = \frac{1^{2} + 4^{2} + b^{2}}{(b+5)^{2}} = \frac{b^{2} + 17}{(b+5)^{2}} = \frac{1}{2}.$$
Multiplicamos en cruz y simplificamos:
$$2b^{2} + 34 = b^{2} + 10b + 25 \;\Longrightarrow\; b^{2} - 10b + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; b = 1 \ \text{o}\ b = 9.$$
Como el enunciado dice que hay más de una bola azul, $b = 9$.
Respuesta: 9