Problema 3 · Números en zigzag
Combinatoria: patrones de subida y bajada con cuatro cifras distintas.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoUn número entero positivo se llama número en zigzag si cumple las tres condiciones siguientes:
- Sus cifras son distintas de cero y todas diferentes.
- No tiene tres cifras seguidas en orden ascendente.
- No tiene tres cifras seguidas en orden descendente.
Por ejemplo, 14385 y 2917 son números en zigzag pero 2564 y 71544 no lo son. ¿Cuántos números en zigzag hay de cuatro cifras?
Solución razonada
Idea clave: separamos la elección del conjunto de cifras de la elección del orden en que aparecen.
Las cifras son $4$ valores distintos de $\{1,\dots,9\}$: hay $\binom{9}{4}=126$ conjuntos posibles.
Fijado un conjunto, miramos el patrón de comparaciones entre cifras consecutivas ($\uparrow$ = sube, $\downarrow$ = baja; son $3$ comparaciones). Prohibir tres cifras seguidas crecientes o decrecientes equivale a decir que no puede haber dos flechas iguales seguidas. Los únicos patrones válidos son, pues:
Para $4$ valores fijados $a