Problema 1 · Áreas sombreadas en un cuadrado
Geometría: dos regiones sombreadas y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 5.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn un cuadrado hemos trazado algunos segmentos tal como se ve en la figura, de manera que ha quedado un triángulo rectángulo de catetos 4 cm y 5 cm. ¿Cuánto vale el área total de las dos regiones sombreadas?
Solución razonada
Idea clave: el área sombreada total coincide exactamente con el área del triángulo rectángulo de catetos 4 y 5, sea cual sea el tamaño del cuadrado. Lo vemos con coordenadas.
Ponemos el cuadrado de lado $s$ con vértices $T_L=(0,0)$, $T_R=(s,0)$, $B_R=(s,s)$, $B_L=(0,s)$ (eje $y$ hacia abajo). Sean $P=(0,p)$ el punto del lado izquierdo y $Q=(q,s)$ el del lado inferior. Las dos rectas trazadas son $PB_R$ y $QT_R$, que se cortan en $R$.
Paso 1 — la perpendicularidad fuerza $q=p$. Los vectores directores son $\vec{u}=(s,\,s-p)$ y $\vec{v}=(s-q,\,-s)$. Imponemos $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$:
Paso 2 — distancias a $R$. Escribimos $w = s-p$ y $D = s^2+w^2$. Resolviendo la intersección se obtiene
Paso 3 — las dos áreas sombreadas. El triángulo superior tiene vértices $T_L$, $P$, $T_R$ y su valor es $\dfrac{sp}{2}$. Un cálculo directo da, para el triángulo inferior $Q\,B_R\,R$, el área $\dfrac{s\,w^{3}}{2D}$. Sumando:
Es decir, el área sombreada total es siempre la mitad del producto de los dos catetos: