Problema 12 · Pintar las caras de un cubo
Coloraciones módulo rotaciones: $6$, $30$ y $6!/24 = 30$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoMònica tiene seis colores para pintar las caras de un cubo. ¿De cuántas maneras lo puede hacer si:
- Todas las caras son del mismo color?
- Cinco caras son del mismo color, y una cara es de un color diferente de las demás?
- Todas las caras son de colores diferentes?
Dos maneras de pintar las caras se consideran diferentes si una no se puede obtener de la otra por rotación del cubo. Como respuesta da el producto de las tres soluciones de los tres apartados.
Solución razonada
Idea clave: el grupo de rotaciones del cubo tiene $24$ elementos; en cada apartado miramos qué queda realmente diferente.
a) Solo hay que elegir el color: $6$ maneras.
b) Elegimos el color mayoritario ($6$) y el de la cara distinta ($5$): la posición de la cara distinta es irrelevante, porque cualquier cara puede llevarse a cualquier otra por rotación. Total: $6 \cdot 5 = 30$.
c) Hay $6! = 720$ asignaciones de colores a caras, y ninguna rotación (salvo la identidad) fija una coloración con seis colores distintos: cada clase tiene exactamente $24$ representantes. Total: $720 / 24 = 30$.