Problema 3 · Los triángulos cruzados
La altura del punto de corte no depende de la base: $h = \tfrac{ab}{a+b}$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn la figura puedes ver dos triángulos rectángulos superpuestos que comparten un cateto. ¿Cuánto mide el segmento marcado con un signo de interrogación?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: es el problema clásico de las dos escaleras cruzadas: la altura del punto de corte sale de dos semejanzas y no depende de la anchura.
Ponemos la base común de longitud $L$, el lado de $20$ m a la izquierda y el de $30$ m a la derecha. Las dos hipotenusas son las rectas $y = \tfrac{30}{L}x$ e $y = \tfrac{20}{L}(L - x)$. En el punto de corte:
$$\frac{30x}{L} = \frac{20(L-x)}{L} \;\Longrightarrow\; 30x = 20L - 20x \;\Longrightarrow\; x = \frac{2L}{5},$$
$$h = \frac{30}{L} \cdot \frac{2L}{5} = 12\ \text{m}, \qquad \text{equivalentemente } \frac{1}{h} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}.$$
Observa que $L$ desaparece: la altura sería $12$ con cualquier anchura de la figura.
Respuesta: 12