Problema 9 · Tableros 3×3 de ceros y unos
Por filas y columnas iguales: todo ceros, todo unos y matrices de permutación.
Respuesta entera de 4 cifras como máximo¿De cuántas maneras se puede llenar un tablero de $3 \times 3$ con los dígitos 0 y 1 de manera que la suma de cada fila y de cada columna sea la misma?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: si cada fila suma $s$, el total es $3s$; y si cada columna también suma $s$, sale el mismo total. Hay que analizar $s = 0, 1, 2, 3$.
$s = 0$: todo ceros, $1$ manera. $s = 3$: todo unos, $1$ manera.
$s = 1$: exactamente un $1$ en cada fila y columna — son las matrices de permutación de tamaño $3$: $3! = 6$ maneras.
$s = 2$: exactamente un $0$ en cada fila y columna — los complementos de las anteriores: $6$ maneras más.
$$1 + 6 + 6 + 1 = 14.$$
Respuesta: 14