Problema 10 · Tarjetas en cajas sin múltiplos
Una cadena $2 \mid 4 \mid 8 \mid 16$ obliga; cuatro cajas bastan.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoRamon tiene 20 tarjetas numeradas del 2 al 21 y las quiere colocar en diferentes cajas de manera que, si el número de una tarjeta es múltiplo del número de otra tarjeta, estas dos han de ir a cajas diferentes. ¿Cuál es la cantidad mínima de cajas que ha de tener para que esto sea posible?
Solución razonada
Idea clave: las tarjetas $2, 4, 8, 16$ son múltiplos sucesivos unas de otras: cada pareja de estas cuatro debe ir separada → hacen falta al menos $4$ cajas.
Y cuatro cajas bastan. La clave: si $a < b$ están en la misma caja y $b$ es múltiplo de $a$, entonces $b \ge 2a$. Agrupamos por «zonas» donde esto no puede pasar:
Dentro de cada caja, el mayor es menos del doble del menor ($5 < 2\cdot 3$, $10 < 2 \cdot 6$, $21 < 2 \cdot 11$), así que ninguna tarjeta puede ser múltiplo de otra de la misma caja.