Problema 8 · Múltiplos de la suma de sus cifras
Recuento sistemático por sumas de cifras (números de Harshad).
Respuesta entera de 4 cifras como máximo¿Cuántos números de dos cifras hay que sean múltiplos de la suma de sus dos cifras? Por ejemplo, 42 es múltiplo de $6 = 4 + 2$, pero 14 no es múltiplo de $5 = 1 + 4$.
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: escribimos $n = 10a + b$ con suma $s = a + b$. Que $s \mid n$ equivale a $s \mid n - s = 9a$: basta con que la suma de cifras divida $9a$.
Recorriendo ordenadamente (o agrupando por sumas), los que cumplen la condición son:
$$10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90.$$
(Están todos los múltiplos de $10$ y de $9$ de dos cifras, entre otros.) En total, $23$ números.
Respuesta: 23