Problema 7 · El área del triángulo DBE
Razones de áreas: un tercio por la base y la mitad por el punto medio.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn el triángulo siguiente, $D$ es un punto que cumple $AD = 2 \cdot CD$, y $E$ es el punto medio entre $B$ y $C$. Si el área del triángulo $ABC$ es de 546 cm², ¿cuál es la del triángulo $DBE$?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: cuando dos triángulos comparten una altura, la razón de sus áreas es la razón de las bases.
$D$ está en el lado $AC$ con $AD = 2\,CD$, de manera que $CD = \tfrac{1}{3}\,AC$. Los triángulos $DBC$ y $ABC$ comparten la altura desde $B$ sobre la recta $AC$:
$$[DBC] = \frac{CD}{AC}\,[ABC] = \frac{546}{3} = 182\ \text{cm}^{2}.$$
Ahora, $E$ es el punto medio de $CB$: los triángulos $DBE$ y $DBC$ comparten la altura desde $D$ sobre la recta $CB$, y $BE = \tfrac{1}{2}\,BC$:
$$[DBE] = \frac{1}{2}\,[DBC] = \frac{182}{2} = 91\ \text{cm}^{2}.$$
Respuesta: 91