Problema 12 · El torneo de los diez equipos
Maximizar puntos = minimizar empates bajo las condiciones.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoDiez equipos participaron en un torneo de fútbol. Cada equipo se enfrentó solo una vez a cada uno de los demás; por cada partido se daban tres puntos al ganador y cero al perdedor, o un punto a cada uno si el partido acababa en empate. Ningún equipo ganó todos sus partidos, y ninguno los perdió todos; solo un equipo no perdió ningún partido, pero consiguió menos puntos que el primero. Se sumaron las puntuaciones de los diez equipos. ¿Cuál es el valor más alto posible de la suma obtenida?
Solución razonada
Idea clave: hay $\binom{10}{2} = 45$ partidos. Cada partido reparte $3$ puntos si es decisivo y $2$ si es empate: la suma total es $135 - (\text{número de empates})$. Maximizar la suma es minimizar los empates.
Hacen falta al menos $2$ empates. Sea $U$ el único equipo invicto. $U$ no lo ganó todo, así que tiene algún empate. Si solo tuviera uno, $U$ tendría $8$ victorias y $1$ empate: $25$ puntos. Pero el primer clasificado no es $U$ y sí perdió algún partido, así que tiene como máximo $8$ victorias y $1$ derrota: $24 < 25$ puntos — contradicción. Por tanto $U$ tiene al menos $2$ empates, y el torneo al menos $2$.
$2$ empates son alcanzables: $U$ empata con dos equipos y gana a los otros $7$ → $7\cdot 3 + 2 = 23$ puntos. Otro equipo $T$ gana $8$ partidos y solo pierde uno, con $24 > 23$ puntos; el resto de partidos se deciden todos, cuidando que ningún equipo lo pierda todo (fácil de cuadrar).