Problema 13 · Exactamente diez divisores

Solución razonada

Idea clave: si $n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$, el número de divisores es $(a_1+1)\cdots(a_k+1)$. Queremos que este producto sea $10 = 10$ o $2 \cdot 5$.

Caso $10$: $n = p^{9}$, el menor es $2^{9} = 512$. Caso $2 \cdot 5$: $n = p^{4}q$ con $p \ne q$ primos; el menor se obtiene con $p = 2$, $q = 3$:

Comprobación: divisores de la forma $2^{i}3^{j}$ con $0 \le i \le 4$, $0 \le j \le 1$: $5 \cdot 2 = 10$ divisores ✓. Y $48 < 512$.