Problema 12 · El torneig dels deu equips
Maximitzar punts = minimitzar empats sota les condicions.
Resposta entera de 4 xifres com a màximDeu equips van participar en un torneig de futbol. Cada equip només es va enfrontar una vegada a cadascun dels altres equips; per a cada partit es donaven tres punts al guanyador i zero al perdedor, o un punt a cadascun si el partit acabava en empat. Cap equip va guanyar tots els seus partits, i cap els va perdre tots; només un equip no va perdre cap partit, però va aconseguir menys punts que el primer. Es van sumar les puntuacions obtingudes pels deu equips. Quin és el valor més alt possible per a la suma obtinguda?
Solució raonada
Idea clau: hi ha $\binom{10}{2} = 45$ partits. Cada partit reparteix $3$ punts si és decisiu i $2$ si és empat: la suma total és $135 - (\text{nombre d'empats})$. Maximitzar la suma és minimitzar els empats.
Calen com a mínim $2$ empats. Sigui $U$ l'únic equip invicte. $U$ no ho va guanyar tot, així que té algun empat. Si només tingués un empat, $U$ tindria $8$ victòries i $1$ empat: $25$ punts. Però el primer classificat no és $U$ i sí que va perdre algun partit, així que té com a màxim $8$ victòries i $1$ derrota: $24 < 25$ punts — contradicció. Per tant $U$ té almenys $2$ empats, i el torneig té almenys $2$ empats.
$2$ empats són assolibles: $U$ empata amb dos equips i guanya els altres $7$ → $7\cdot 3 + 2 = 23$ punts. Un altre equip $T$ guanya $8$ partits i només perd contra... un dels rivals adequats, amb $24 > 23$ punts; la resta de partits es decideixen tots, vigilant que cap equip ho perdi tot (fàcil de quadrar).