Problema 1 · Recorridos por seis caminos
Circuitos que usan cada camino una vez: esquemas de pueblos × elecciones de caminos paralelos.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoTres pueblos están conectados entre ellos, dos a dos, por dos caminos tal como se ve en la imagen. Raül quiere caminar desde el pueblo $A$, acabando de vuelta en el pueblo $A$, y recorriendo cada uno de los seis caminos exactamente una vez. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer este recorrido?
Solución razonada
Idea clave: separamos el itinerario entre pueblos de la elección del camino concreto en cada desplazamiento.
Primero contamos los itinerarios de pueblos: sucesiones cerradas $A \to \cdots \to A$ de seis pasos que atraviesan cada conexión ($AB$, $BC$, $CA$) exactamente dos veces. Enumerándolas (por ejemplo $A\,B\,C\,A\,B\,C\,A$, $A\,B\,C\,A\,C\,B\,A$, $A\,B\,A\,C\,B\,C\,A$, $A\,B\,C\,B\,A\,C\,A$ y sus simétricas empezando hacia $C$) salen exactamente $8$.
Fijado el itinerario, cada conexión se atraviesa dos veces y tiene dos caminos paralelos: podemos asignar qué camino se usa primero de $2$ maneras por conexión, es decir $2^{3} = 8$ elecciones.