Problema 7 · 45a con todas las cifras iguales
Un repdigit múltiplo de 45 ha de acabar en 5 y sumar múltiplo de 9.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEl número $a$ es un entero positivo y la suma $S = a + 2a + 3a + 4a + \dots + 9a$ es un número en el que todos los dígitos son iguales. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tener $S$? Da como respuesta un número de dos cifras $\overline{bc}$, donde $b$ es el número de veces que sale la cifra repetida y $c$ la cifra que se repite. Por ejemplo, si $S = 77777$, la respuesta es 57, ya que hay cinco sietes.
Solución razonada
Idea clave: $S = (1+2+\cdots+9)\,a = 45a$: es múltiplo de $45$, es decir, de $5$ y de $9$ a la vez.
Un número con todas las cifras iguales a $d$: para ser múltiplo de $5$, ha de acabar en $5$ (si $d = 0$ no es positivo), así que $d = 5$. Para ser múltiplo de $9$, la suma de cifras $5k$ ha de ser múltiplo de $9$: como $5$ y $9$ son coprimos, $k$ ha de ser múltiplo de $9$.
El mínimo es $k = 9$:
Respuesta en formato $\overline{bc}$: $b = 9$ cincos, $c = 5$ → $95$.