Problema 11 · El cuadrado partido en tres
Áreas iguales fijan los puntos; la distancia 1 fija el lado.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoUn cuadrado se ha dividido en tres regiones de la misma área, dos triángulos rectángulos y un paralelogramo, de manera que los segmentos $AB$ y $CD$ son paralelos y la distancia entre los dos segmentos es de $1$ cm, tal como se ve en la imagen. ¿Cuánto vale el área del cuadrado?
Copa Cangur · SCM
Difícil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: ponemos el cuadrado con $B = (0,0)$, lado $a$: las áreas iguales determinan dónde están $A$ y $D$.
El triángulo izquierdo (vértices $B$, $(0,a)$ y $A = (x,a)$) tiene área $\tfrac{ax}{2} = \tfrac{a^2}{3}$, así que $x = \tfrac{2a}{3}$. Por simetría, $D = \left(\tfrac{a}{3}, 0\right)$.
La recta $BA$ es $3x - 2y = 0$ y la recta $DC$ es $3x - 2y = a$. La distancia entre ellas:
$$d = \frac{a}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{a}{\sqrt{13}} = 1 \;\Longrightarrow\; a^2 = 13\ \text{cm}^2.$$
Respuesta: 13