Problema 1 · La torre de 84 esferas
Siete capas triangulares: tangencias dentro de cada capa y entre capas.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoCon 84 esferas idénticas hacemos una torre en forma de tetraedro regular, similar al de la imagen pero con más esferas, dejando el mínimo espacio posible entre ellas. ¿Cuántos puntos de tangencia hay entre todas las esferas?
Copa Cangur · SCM
Difícil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: los números tetraédricos son $T\!e(n) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ y $T\!e(7) = 84$: la torre tiene $7$ capas, donde la capa $k$ es un triángulo de $T_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ esferas.
Dentro de una capa triangular de lado $k$ hay $3T_{k-1} = \tfrac{3k(k-1)}{2}$ tangencias (tres por cada triangulito hacia arriba). Entre la capa $k$ y la $k+1$, cada esfera de la capa superior reposa sobre $3$ de la inferior: $3T_k$ tangencias.
$$\sum_{k=1}^{7} \frac{3k(k-1)}{2} + \sum_{k=1}^{6} \frac{3k(k+1)}{2} = 3\,T\!e(6) + 3\,T\!e(6) = 6 \cdot 56 = 336.$$
Respuesta: 336