Fibonacci escondido en Collatz

Cómo la sucesión más famosa de las matemáticas apareció, sin que nadie la invitara, dentro del problema que nadie sabe resolver.

Esta historia junta a dos personajes que, en principio, no tienen nada que ver. Uno es una celebridad: los números de Fibonacci, esa sucesión que sale en los libros de divulgación, en los girasoles y hasta en El código Da Vinci. El otro es un problema con una fama curiosa: la conjetura de Collatz, una pregunta de enunciado infantil que fascina a los aficionados, incomoda a los matemáticos profesionales y lleva desde 1937 sin respuesta.

Lo que voy a contarte aquí es un resultado de mi tesis doctoral: un teorema que demuestra que, dentro de la dinámica de Collatz, los números de Fibonacci están contando algo muy concreto. No es una coincidencia numérica ni una curiosidad aproximada: es una igualdad exacta, válida para siempre, con demostración. Y lo mejor es que el camino completo —desde la definición de Fibonacci hasta el teorema— se puede recorrer con matemáticas de bachillerato. Vamos a recorrerlo.

1. Los números de Fibonacci

La regla es la más simple imaginable: empieza con \(1, 1\) y, a partir de ahí, cada término es la suma de los dos anteriores.

\[ F(1)=1,\quad F(2)=1,\quad F(n)=F(n-1)+F(n-2). \]

Fíjate en el cociente entre términos consecutivos que muestra el simulador. A medida que avanzas, se acerca a un número muy concreto:

\[ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1{,}6180339\ldots \]

Es el famoso número áureo. No es casualidad: los números de Fibonacci crecen, a la larga, multiplicándose por \(\varphi\) en cada paso. Guarda este dato, porque \(\varphi\) va a reaparecer al final de la historia en el lugar más inesperado.

Dónde viven de verdad (y dónde no)

Seguro que has oído que la concha del nautilus es una «espiral áurea». Lamento estropearlo: no lo es. Es una espiral logarítmica, sí, pero con otra proporción; lo de Fibonacci ahí es un mito que se repite de libro en libro. En cambio, hay sitios donde los números de Fibonacci aparecen de verdad y por razones que se entienden: las espirales de las pipas en un girasol o las escamas de una piña suelen venir en parejas de números de Fibonacci consecutivos (8 y 13, 21 y 34), porque esa disposición es la forma más eficiente de empaquetar semillas que van naciendo giradas un ángulo fijo.

Pero el hábitat natural de Fibonacci no es la botánica: es el conteo de caminos. El ejemplo clásico: ¿de cuántas formas puedes subir una escalera de \(n\) peldaños si en cada paso subes 1 o 2?

El porqué cabe en una frase: para llegar al peldaño \(n\), tu último paso fue de 1 (venías del \(n-1\)) o de 2 (venías del \(n-2\)); por tanto, maneras de llegar a \(n\) = maneras de llegar a \(n-1\) + maneras de llegar a \(n-2\). Esa es exactamente la regla de Fibonacci. Cuando un problema se reduce a contar caminos con dos opciones que se encadenan así, Fibonacci aparece solo. Recuerda esta idea: es la llave de todo lo que viene.

2. La conjetura de Collatz

Toma cualquier número entero positivo. Si es par, divídelo entre 2. Si es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1. Repite. La conjetura de Collatz afirma que, empieces donde empieces, siempre acabas llegando al 1. Casi noventa años después, nadie ha podido demostrarlo ni encontrar un contraejemplo — y no es por falta de evidencia: se ha comprobado con ordenador, uno a uno, para todos los números hasta \(2^{71}\) (más de dos mil trillones). Que se cumpla dos mil trillones de veces seguidas no demuestra que se cumpla siempre: esa distancia entre comprobar y demostrar es el corazón del problema.

Los matemáticos solemos usar una versión «acelerada» de la regla. Como \(3n+1\) siempre es par cuando \(n\) es impar, podemos dividir entre 2 inmediatamente y ahorrarnos un paso:

\[ T(n)=\begin{cases} n/2 & \text{si } n \text{ es par},\\[2pt] \dfrac{3n+1}{2} & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]

Con esta versión, el final del viaje es el pequeño ciclo \(1\to2\to1\). Todo lo que sigue usa \(T\).

Prueba con 27: sube hasta cerca de 5.000 antes de rendirse. Prueba con 26: llega enseguida. Vecinos de puerta, destinos opuestos. Ese es el carácter del problema: la regla es trivial, pero el comportamiento es salvaje e impredecible.

Y sin embargo, hay una forma de domar ese caos. Consiste en cambiar de lente: dejar de mirar el número y mirar otra cosa mucho más humilde.

Esa otra cosa es el resto al dividir entre 6: el número entre 0 y 5 que sobra. El 27 deja resto 3 (porque \(27 = 4\cdot 6 + 3\)); el 80 deja resto 2; y por enorme que sea el número, su resto es siempre uno de esos seis valores. Nada más.

Aquí está el cambio decisivo, y conviene detenerse en él. Los números viven en un espacio infinito: saltan a miles, sin manera de prever a dónde irán. Pero sus restos viven en un espacio diminuto — solo seis valores posibles, pase lo que pase. Así que mientras la trayectoria de un número se dispara sin patrón aparente, la trayectoria de sus restos está obligada a moverse entre seis casillas. Y lo mejor: no salta entre ellas a capricho, sino siguiendo reglas fijas. Es como cambiar un mapa infinito y sin caminos por un tablero de seis casillas con las flechas ya marcadas.

Veámoslo. Lancemos otra vez una trayectoria —la misma de antes, si quieres— pero esta vez coloreando cada número según el resto que deja al dividirlo entre 6:

Esto es lo que hay que ver: por muy lejos que vuele la trayectoria, los colores solo bailan entre seis. Ese pequeño baile, finito y reglado, es lo que vamos a estudiar — y es donde, al final, aparecerá Fibonacci.

3. Un mapa con seis regiones

Pongamos nombre a las seis casillas: las llamaremos «regiones», una por cada resto (0 a 5). La pregunta, la única que hace falta, es: si un número está en la región \(r\), ¿a qué región puede mandarlo \(T\)?

Y se responde con pura aritmética de instituto. Tomemos la región 1. Un número con resto 1 se escribe \(n=6k+1\) para algún entero \(k\ge 0\); como es impar, \(T\) lo manda a:

\[ T(n)=\frac{3n+1}{2}=\frac{3(6k+1)+1}{2}=9k+2. \]

¿Y qué resto deja \(9k+2\) al dividir entre 6? Aquí está la idea, y es lo único que hay que entender: el resultado cambia según \(k\) sea par o impar. Y la razón cabe en un renglón: como \(9k+2 = 6k + (3k+2)\), el resto lo decide \(3k\), que vale 0 si \(k\) es par y 3 si es impar. Así que \(9k+2\) deja resto 2 cuando \(k\) es par, y resto 5 cuando es impar. Así que la región 1 tiene dos salidas — a la 2 y a la 5 —, una por cada paridad de \(k\). Esas son las dos flechas que salen de la región 1 en el mapa, y por eso van en dos colores: verde para \(k\) par, ámbar para \(k\) impar.

Con las otras cinco regiones se hace igual (si \(n\) es par, sale \(n/2\), aún más sencillo). El resultado son doce flechas, dos por región — este mapa. Pulsa cualquier región para ver su cuenta y encender sus dos flechas:

Este mapa tiene dos rasgos que conviene mirar de cerca, porque de ellos sale todo lo demás.

Las regiones 0 y 3 solo tienen flechas de salida. Son regiones distintas —la 0 son los múltiplos de 6 y la 3 son los múltiplos de 3 impares—, pero juntas forman los múltiplos de 3, y comparten una peculiaridad: ninguna flecha del núcleo llega hasta ellas. La razón es sencilla. Para caer en un múltiplo de 3 haría falta partir ya de uno: si \(n\) es impar, \(\tfrac{3n+1}{2}\) nunca es múltiplo de 3 (porque \(3n+1\) no lo es); y si \(n\) es par, \(n/2\) solo es múltiplo de 3 cuando \(n\) ya lo era. Así que se puede empezar en un múltiplo de 3, pero en cuanto se sale de ahí, no se vuelve jamás.

Las otras cuatro regiones \(\{1,2,4,5\}\) forman el núcleo del sistema. Toda trayectoria acaba dentro —por lo que acabamos de ver: tarde o temprano se abandona el club de los múltiplos de 3 y nunca se regresa— y, una vez dentro, se circula entre ellas para siempre. Cada región del núcleo tiene exactamente dos salidas: desde 1 se va a 2 o a 5; desde 2, a 1 o a 4; desde 4, a 2 o a 5; desde 5, a 2 o a 5. Dos caminos posibles en cada paso significa que el número de trayectorias se duplica a cada paso: 2, 4, 8, 16… Crece deprisa, pero de forma perfectamente regular. Quédate con esa palabra —duplica—, porque en la próxima sección quitaremos del mapa una sola región y veremos cómo ese «duplica» se transforma, sin avisar, en algo mucho más interesante.

4. La región prohibida: el subgrafo \(H_4\)

Ahora viene la pregunta que lo desencadena todo. De las cuatro regiones del núcleo, la región 4 es especial: solo se llega a ella desde una, la región 2 (compruébalo en el explorador de antes: es la única flecha que apunta al 4). ¿Y si un número se las arregla para esquivarla siempre? ¿Cuántos hay capaces de circular por el núcleo sin pisar jamás la región 4?

Para responderlo, quitamos del mapa la región 4 y nos quedamos solo con \(\{1,2,5\}\) y las flechas entre ellas. (Un puente de vocabulario, porque de aquí en adelante es cómodo: lo que venimos llamando «mapa» es en realidad un grafo, y cada región es un vértice suyo; al quitar una región nos queda un subgrafo. A este lo llamo \(H_4\): el que sobrevive al borrar la región 4.)

Observa lo que ha pasado al borrar el 4: las regiones 1 y 5 conservan sus dos salidas, pero la región 2 ha perdido una —su flecha hacia 4— y se queda con una sola: volver a 1. El núcleo completo ofrecía siempre dos opciones por paso; \(H_4\) ofrece dos opciones, salvo cuando pisas el 2, que solo ofrece una. Esa pequeña asimetría —dos caminos casi siempre, uno solo al pisar el 2— es la que va a fabricar Fibonacci. Vamos a verlo.

La matriz que cuenta caminos

Aquí está la única idea de álgebra que necesitamos, y conviene entenderla, no solo creérsela. Empecemos por lo más fácil. La propia matriz \(M\) ya cuenta los caminos de un paso: su casilla \((r,s)\) vale 1 cuando hay una flecha de \(r\) a \(s\) —un camino de longitud 1— y 0 cuando no la hay.

¿Y los caminos de dos pasos? Para ir de \(r\) a \(s\) en dos pasos hay que parar en alguna región intermedia \(t\): primero \(r\to t\), después \(t\to s\). Contar de cuántas maneras se puede es justo lo que hace multiplicar la matriz por sí misma: la casilla \((r,s)\) de \(M^2\) recorre todas las regiones intermedias \(t\) posibles y suma «¿hay flecha \(r\to t\)?» por «¿hay flecha \(t\to s\)?». Encadenando lo mismo paso a paso se llega a la regla general:

Y no hay que creérselo: en la tabla de abajo, pulsa cualquier casilla y verás esos caminos escritos uno a uno.

Sube el deslizador despacio y mira las entradas de la matriz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Todas y cada una de las entradas de \(M^k\) son números de Fibonacci, y los totales de caminos por fila también. No los hemos puesto nosotros: los ha fabricado el grafo.

¿Y por qué Fibonacci, y no otra sucesión cualquiera? Lo bonito es que se puede ver sin una sola cuenta, mirando solo el mapa de \(H_4\). Contemos los caminos de longitud \(k\) que arrancan en la región 1 —los mismos que cuenta el simulador— y llamémoslos \(C(k)\). El primer paso solo puede ir a 2 o a 5:

Si va a 5, ocurre algo afortunado: la región 5 tiene exactamente las mismas salidas que la 1 (en la matriz, sus dos filas son idénticas). Así que seguir desde 5 es como volver a empezar el conteo desde 1: quedan \(C(k-1)\) caminos. Si va a 2, la región 2 no puede elegir —su única salida es regresar a 1—, así que el camino gasta dos pasos (\(1\to2\to1\)) y vuelve al punto de partida: quedan \(C(k-2)\) caminos. Sumando las dos posibilidades:

\[ C(k) = C(k-1) + C(k-2). \]

Es, letra por letra, la regla de Fibonacci. Y ahora sí es exactamente la de la escalera: dos maneras de continuar, una que avanza un paso (ir a 5) y otra que «salta» dos (el rodeo \(1\to2\to1\)). La asimetría del 2 no era un detalle: era el motor.

Fíjate en lo que esa recurrencia significa para el ritmo de crecimiento. En la sección 1 vimos que los números de Fibonacci crecen, a la larga, multiplicándose por \(\varphi\) a cada paso. Como nuestros caminos obedecen exactamente la misma regla, crecen al mismo ritmo: el número de caminos por \(H_4\) se multiplica por \(\varphi=1{,}618\ldots\) —te dije que el número áureo reaparecería—. En cambio, en el núcleo completo, donde cada región sí tiene dos salidas de verdad, el número de caminos se duplica: se multiplica por 2. Dos ritmos distintos, \(\varphi\) frente a 2 (los matemáticos llaman a ese ritmo el radio espectral del grafo), y esa diferencia lo cambia todo:

Mira cómo se separan las dos barras: cuanto mayor es \(m\), más raro es esquivar la región 4 — los caminos que la evitan son una fracción del total que se encoge sin freno, al ritmo \((\varphi/2)^m\). Y ahora, por fin, recupera la pregunta del principio. Por el diccionario número↔camino de la sección anterior, los números que esquivan la región 4 son exactamente esos caminos de \(H_4\). Así que ya tenemos la respuesta completa: cuántos números esquivan el 4 lo dicen los números de Fibonacci, y qué raros se vuelven lo dice el cociente \(\varphi/2\). Eso, puesto en limpio, es el teorema.

5. El teorema

Juntemos las piezas. Los números que evitan la región 4 son, vía el grafo, caminos en \(H_4\); los caminos en \(H_4\) los cuentan las potencias de \(M\); y las potencias de \(M\) fabrican números de Fibonacci. Pero el enunciado exacto afina dos cosas que parecen detalles y son justo donde está la sutileza: habla de números impares y empieza a mirar desde el segundo paso. Vale la pena entender por qué.

Primero, fijemos las palabras, porque aquí es fácil liarse. La órbita de un número \(n\) es la sucesión que sale de aplicar \(T\) una y otra vez: \(n,\ T(n),\ T(T(n)),\ \ldots\) Llamaremos paso 1 al propio \(n\), paso 2 a \(T(n)\), paso 3 a \(T(T(n))\), y así: el paso \(k\) es el resultado de aplicar \(T\) un total de \(k-1\) veces. (Usaremos siempre «paso» para esa posición y «aplicar \(T\)» para la operación; conviene no mezclar las dos palabras.)

Y ahora el hecho que lo explica todo, y que puedes comprobar: tomes el número impar que tomes, una sola aplicación de \(T\) lo deja en la región 2 o en la 5 — es decir, dentro de \(H_4\). Míralo: \(7\to11\equiv5\), \(9\to14\equiv2\), \(15\to23\equiv5\). Da igual que el impar de partida sea un múltiplo de 3 —como 3, 9 o 15, que viven en la región 3, fuera del núcleo—: en el primer paso aterriza igualmente, y limpio, dentro de \(H_4\).

De ahí salen las dos condiciones. Se cuentan impares porque su entrada en \(H_4\) es siempre limpia y de un solo paso; los pares se portan peor —un múltiplo de 6 puede quedarse dando vueltas en la región 0, que tiene una flecha hacia sí misma, durante varios pasos antes de entrar al núcleo (por ejemplo \(24\to12\to6\to3\), tres pasos en la región 0)—. Y se mira desde el paso 2 porque el paso 1 es el impar de partida: su resto nunca es 4 (es impar), así que pedirle que «evite la región 4» no diría nada, y además podría ser un múltiplo de 3, que ni siquiera está aún en el núcleo. Es a partir del paso 2 cuando todo impar está garantizado dentro de \(H_4\), y la pregunta «¿logra quedarse, esquivando la región 4?» se convierte exactamente en nuestro conteo de caminos. Su respuesta es un enunciado exacto:

Ni «aproximadamente», ni «para \(m\) grande»: exactamente el número de Fibonacci \(F(m+1)\), para todo \(m\). Por ejemplo, con \(m=6\): de los 32 números impares hasta 64, exactamente 13 \(=F(7)\) esquivan la región 4. ¿Y el ritmo \((\varphi/2)^m\)? Es justo el duelo \(\varphi\) contra 2 del visor anterior: los supervivientes crecen como \(\varphi\) y el total como 2, así que su proporción se apaga sola. Esquivar la región 4 es posible, pero cada vez más raro; casi todos los números acaban pisándola.

No te fíes de mí — compruébalo. Este verificador ejecuta la cuenta de verdad, número a número; y puedes pulsar cualquier número para abrir su órbita y ver cómo esquiva —o no— la región 4:

6. Por qué importa

Una conexión entre Fibonacci y Collatz es bonita por sí sola, y no es la primera vez que alguien la atisba: en «Collatz Meets Fibonacci» (Albert, Gudmundsson y Ulfarsson, 2022), ciertos recuentos ligados a Collatz coinciden con los números de Fibonacci… hasta longitud 14, y a partir de ahí la coincidencia se rompe y aparecen términos «de más». La diferencia aquí es que el conteo es exacto —\(F(m+1)\), para todo \(m\) sin excepción— y con demostración cerrada. Pero el teorema dice, además, algo más profundo sobre la estructura del problema.

En el paper se demuestra que ningún vértice del núcleo es prescindible: borres el que borres, la velocidad de crecimiento cae estrictamente por debajo de 2, y cada vértice tiene su precio exacto. Borrar el 4 (o el 1) la deja en \(\varphi\approx1{,}618\); borrar el 5, en \(\sqrt2\approx1{,}414\); y borrar el 2 la hunde hasta 1: sin la región 2, apenas queda un hilo de caminos. La jerarquía completa, \(1<\sqrt2<\varphi<2\), mide cuánto sostiene cada región el tráfico de la dinámica.

Y eso tiene una consecuencia directa sobre la conjetura. Si existiera un ciclo distinto del \(1\to2\to1\) —una de las dos formas en que Collatz podría ser falsa—, ese ciclo sería un camino cerrado en el grafo, y un camino cerrado tiene que cuadrar con las reglas de tráfico del mapa: en cada región, las veces que se entra y las veces que se sale deben compensarse. De esa contabilidad sale algo muy concreto: el teorema fuerza que todo ciclo positivo de \(T\) debe visitar la región 2, y además pasar en ella más del 18% de sus pasos. No sabemos si tales ciclos existen, pero ya sabemos algo concreto sobre cómo tendrían que ser: no hay ciclo posible que viva escondido en los márgenes del mapa.

Esa es, para mí, la moraleja de todo esto. La conjetura de Collatz sigue abierta, y este teorema no la resuelve. Pero demuestra que bajo el caos aparente de las trayectorias hay una estructura rígida, medible y exacta — tan exacta que en su corazón laten, desde siempre y sin que nadie los hubiera visto, los números de Fibonacci y el número áureo.

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