Exercici 3 · Binomial, normal i interval de confiança — Temps de càrrega web

Distribució binomial, aproximació per la normal i interval de confiança per a la mitjana.

Puntuació màxima · 2,5 punts

Una empresa de telecomunicacions considera que una pàgina web és eficient si el seu temps de càrrega és inferior a 3 segons. L'empresa afirma que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients. Per comprovar aquesta afirmació, se selecciona una mostra aleatòria de $n = 2500$ pàgines web gestionades per aquesta empresa.

Formulari de l'enunciat: $Z \sim N(0,1) \Rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ i $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$; intervals de confiança $\left[\hat{p} - z_{\gamma}\sqrt{\tfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\; \hat{p} + z_{\gamma}\sqrt{\tfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$ per a la proporció i $\left[\bar{x} - z_{\gamma}\tfrac{s}{\sqrt{n}},\; \bar{x} + z_{\gamma}\tfrac{s}{\sqrt{n}}\right]$ per a la mitjana.

Se suposa que, cada vegada que se selecciona una pàgina web per a la mostra, aquesta pot ser eficient (o no ser-ho) amb una probabilitat $p = 0{,}5$, i que el fet que una pàgina sigui eficient (o no) és independent que la resta ho siguin (o no). Es considera la variable aleatòria $X$, que compta el nombre de pàgines, d'entre les 2500 de la mostra, que són eficients. Quina distribució té la variable $X$? Calculeu la probabilitat que com a màxim 1299 pàgines siguin eficients. Per fer-ho, utilitzeu l'aproximació per la distribució normal sense fer la correcció per continuïtat. 1,25 p
En la mostra de $n = 2500$ pàgines web, s'ha obtingut una mitjana mostral del temps de càrrega de $\bar{x} = 2{,}95$ segons i una desviació típica mostral de $s = 0{,}38$ segons. Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà de càrrega de les pàgines web que gestiona l'empresa. A partir de l'interval obtingut, què es pot dir sobre l'afirmació de l'empresa que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients? 1,25 p

Batxillerat CCSS · Bloc E — Sentit estocàstic Distribució binomial Aproximació normal Interval de confiança

Correcció pas a pas

Idea clau: $X$ compta el nombre d'èxits en $n$ proves independents amb probabilitat d'èxit constant: és una binomial. Com que $n$ és molt gran, s'aproxima per una normal de mitjana $np$ i desviació $\sqrt{np(1-p)}$.

a) Distribució de $X$ i càlcul de la probabilitat

Cada pàgina és eficient amb probabilitat $p = 0{,}5$, de manera independent, i en comptem els èxits entre $n = 2500$:

X \sim B(2500;\; 0{,}5).

Paràmetres de l'aproximació normal:

\mu = np = 2500 \cdot 0{,}5 = 1250, \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{2500 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{625} = 25.

Per tant $X \approx N(1250,\, 25)$. Tipifiquem (sense correcció per continuïtat, tal com demana l'enunciat):

P(X \le 1299) = P\!\left(Z \le \frac{1299 - 1250}{25}\right) = P(Z \le 1{,}96).

Com que $P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$, cada cua val $0{,}025$ i, per tant, $P(Z \le 1{,}96) = 0{,}95 + 0{,}025 = 0{,}975$.

$X \sim B(2500;\, 0{,}5) \approx N(1250,\, 25)$ i $P(X \le 1299) = 0{,}975$.

b) Interval de confiança i interpretació

Mostra gran amb variància desconeguda: fem servir l'interval per a la mitjana amb $z_{\gamma} = 1{,}96$ (confiança del 95 %):

\bar{x} \pm z_{\gamma}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}95 \pm 1{,}96 \cdot \frac{0{,}38}{\sqrt{2500}} = 2{,}95 \pm 1{,}96 \cdot \frac{0{,}38}{50} = 2{,}95 \pm 0{,}0149.

IC_{95\%} = [\,2{,}9351,\; 2{,}9649\,]\ \text{segons}.

Tot l'interval queda per sota de 3 segons: amb una confiança del 95 %, el temps mitjà de càrrega de les pàgines de l'empresa és inferior a 3 segons.

Aquest resultat és coherent amb l'afirmació de l'empresa i li dona suport: si el temps mitjà és clarament inferior a 3 s, és plausible que almenys la meitat de les pàgines triguin menys de 3 s. (En rigor, l'interval és per a la mitjana i l'afirmació parla de la proporció de pàgines eficients; l'interval no la demostra, però no la contradiu.)

$IC_{95\%} = [2{,}9351;\ 2{,}9649]$ s. Com que tot l'interval és inferior a 3 s, les dades donen suport a l'afirmació de l'empresa.