14. Exercicis de repàs per a l'examen · Fraccions

Exercicis per preparar l'examen, un de cada apartat del temari. Intenteu-los abans d'obrir la solució.

1. Troba $R$ perquè siguin equivalents

f) $\displaystyle \dfrac{R}{18} = \dfrac{25}{45}$

Simplifiquem la fracció coneguda: $\dfrac{25}{45} = \dfrac{5}{9}$. De $9$ a $18$ es multiplica per $2$, així que el numerador també:

\dfrac{R}{18} = \dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} \;\Longrightarrow\; R = 10

Amb el producte creuat surt el mateix:

45 \cdot R = 25 \cdot 18 \;\Longrightarrow\; R = \dfrac{25 \cdot 18}{45} = \dfrac{5^2 \cdot 2 \cdot 3^2}{3^2 \cdot 5} = 10

$$R = 10$$

g) $\displaystyle \dfrac{120}{R} = \dfrac{40}{24}$

Simplifiquem la fracció coneguda dividint per $8$:

\dfrac{40}{24} = \dfrac{5}{3}

Producte creuat:

\dfrac{120}{R} = \dfrac{5}{3} \;\Longrightarrow\; 5 \cdot R = 3 \cdot 120 \;\Longrightarrow\; R = \dfrac{360}{5} = 72

Comprovació: $\dfrac{120}{72} = \dfrac{5}{3}$.

Correcció respecte a la pissarra. A classe es va simplificar $\dfrac{40}{24}$ com $\dfrac{8}{3}$ i va sortir $R = 45$. Però $\dfrac{40}{24} = \dfrac{5}{3}$ (per $8$ a dalt i a baix), i amb $R = 45$ quedaria $\dfrac{120}{45} = \dfrac{8}{3}$, que no val el mateix que $\dfrac{40}{24}$.

$$R = 72$$

2. Ordena de més petit a més gran

e) $\displaystyle \dfrac{5}{18}, \quad -\dfrac{2}{15}, \quad -\dfrac{1}{9}, \quad \dfrac{5}{36}$

$\text{MCM}(18, 15, 9, 36) = 180$. Amplifiquem:

\dfrac{50}{180}, \quad -\dfrac{24}{180}, \quad -\dfrac{20}{180}, \quad \dfrac{25}{180}

Amb el mateix denominador manen els numeradors: $-24 < -20 < 25 < 50$. Entre negatius, és més petit el que és més lluny del zero.

-\dfrac{2}{15} < -\dfrac{1}{9} < \dfrac{5}{36} < \dfrac{5}{18}

f) $\displaystyle \dfrac{7}{18}, \quad \dfrac{7}{4}, \quad \dfrac{23}{15}, \quad \dfrac{7}{18}$

$\text{MCM}(18, 4, 15) = 180$. Amplifiquem:

\dfrac{70}{180}, \quad \dfrac{315}{180}, \quad \dfrac{276}{180}, \quad \dfrac{70}{180}

La primera i l'última són la mateixa fracció: van amb un signe igual.

\dfrac{7}{18} = \dfrac{7}{18} < \dfrac{23}{15} < \dfrac{7}{4}

3. Calcula

i) $\displaystyle \dfrac{6}{7} - \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) - \left(-\dfrac{7}{5}\right)$

Traiem els parèntesis: el menys de davant canvia el signe de tot el de dins.

\dfrac{6}{7} - \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{5}

$\text{MCM}(7, 4, 6, 5) = 420$:

\dfrac{360 - 315 - 350 + 588}{420} = \dfrac{283}{420}

\dfrac{283}{420}

j) $\displaystyle \left(5 - \dfrac{3}{8}\right) - \left(-\dfrac{8}{5} - \dfrac{3}{20}\right)$

Traiem els parèntesis. El segon canvia de signe:

\dfrac{5}{1} - \dfrac{3}{8} + \dfrac{8}{5} + \dfrac{3}{20}

$\text{MCM}(8, 5, 20) = 40$:

\dfrac{200}{40} - \dfrac{15}{40} + \dfrac{64}{40} + \dfrac{6}{40} = \dfrac{255}{40} = \dfrac{51}{8}

\dfrac{51}{8}

4. Calcula factoritzant

d) $\displaystyle -\dfrac{300}{75} : \dfrac{115}{95} : \dfrac{6}{10}$

La primera es queda igual i les altres dues s'inverteixen:

-\dfrac{300}{75} \cdot \dfrac{95}{115} \cdot \dfrac{10}{6}

Descomponem i ratllem:

-\dfrac{(2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) \cdot (5 \cdot 19) \cdot (2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5^2) \cdot (5 \cdot 23) \cdot (2 \cdot 3)} = -\dfrac{2^2 \cdot 5 \cdot 19}{3 \cdot 23} = -\dfrac{380}{69}

-\dfrac{380}{69}

e) $\displaystyle -\dfrac{147}{20} : \dfrac{70}{9} \cdot \dfrac{10}{7}$

La divisió passa a multiplicació per la inversa:

-\dfrac{147}{20} \cdot \dfrac{9}{70} \cdot \dfrac{10}{7}

Descomponem i ratllem:

-\dfrac{(3 \cdot 7^2) \cdot 3^2 \cdot (2 \cdot 5)}{(2^2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5 \cdot 7) \cdot 7} = -\dfrac{3^3}{2^2 \cdot 5} = -\dfrac{27}{20}

-\dfrac{27}{20}

5. Calcula les potències

f) $\displaystyle \left(\dfrac{8}{11}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{8}{11}\right)^2 : \left(\dfrac{8}{11}\right)^7$

Mateixa base: sumem i restem exponents.

\left(\dfrac{8}{11}\right)^{3+2-7} = \left(\dfrac{8}{11}\right)^{-2}

Exponent negatiu: girem la fracció.

\left(\dfrac{11}{8}\right)^2 = \dfrac{121}{64}

\dfrac{121}{64}

g) $\displaystyle \left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\right]^{-3} : \left(\dfrac{10}{9}\right)^{-6}$

Potència d'una potència: $2 \cdot (-3) = -6$. I queden dues potències amb el mateix exponent:

\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-6} : \left(\dfrac{10}{9}\right)^{-6} = \left(\dfrac{5}{3} : \dfrac{10}{9}\right)^{-6} = \left(\dfrac{45}{30}\right)^{-6} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-6}

Exponent negatiu: girem la fracció.

\left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{2^6}{3^6} = \dfrac{64}{729}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729}

6. Operacions combinades

e) $\displaystyle \dfrac{28}{60} - \dfrac{5}{36} \cdot \left(-\dfrac{27}{75}\right) + \sqrt{\dfrac{256}{625}} + 20 : (-8)$

Cada terme per separat. La multiplicació té dos signes menys, que donen més:

\dfrac{28}{60} = \dfrac{7}{15} \qquad -\dfrac{5}{36} \cdot \left(-\dfrac{27}{75}\right) = +\dfrac{5 \cdot 3^3}{(2^2 \cdot 3^2) \cdot (3 \cdot 5^2)} = \dfrac{1}{20}

\sqrt{\dfrac{256}{625}} = \dfrac{16}{25} \qquad 20 : (-8) = -\dfrac{20}{8} = -\dfrac{5}{2}

$\text{MCM}(15, 20, 25, 2) = 300$:

\dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{140 + 15 + 192 - 750}{300} = -\dfrac{403}{300}

-\dfrac{403}{300}

f) $\displaystyle \left(\dfrac{6}{7}\right)^3 : \left(\dfrac{6}{7}\right)^2 - \dfrac{65}{18} \cdot \dfrac{12}{39} + \left(-\dfrac{9}{5}\right)^3 \cdot \left(-\dfrac{9}{5}\right)^{-5}$

Les potències amb la mateixa base i la multiplicació descomponent:

\left(\dfrac{6}{7}\right)^{3-2} = \dfrac{6}{7} \qquad \dfrac{65}{18} \cdot \dfrac{12}{39} = \dfrac{(5 \cdot 13) \cdot (2^2 \cdot 3)}{(2 \cdot 3^2) \cdot (3 \cdot 13)} = \dfrac{10}{9}

\left(-\dfrac{9}{5}\right)^{3-5} = \left(-\dfrac{9}{5}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{5}{9}\right)^2 = \dfrac{25}{81}

$\text{MCM}(7, 9, 81) = 567$:

\dfrac{6}{7} - \dfrac{10}{9} + \dfrac{25}{81} = \dfrac{486 - 630 + 175}{567} = \dfrac{31}{567}

\dfrac{31}{567}