2. Imatges i antiimatges · Funcions reals

Imatge d'un valor

Definició

La imatge d'un valor $x_0 \in \operatorname{Dom} f$ és el valor $f(x_0)$, és a dir el valor de $y$ relacionat amb $x_0$. Com que $f$ és una funció, aquest valor és únic.

\operatorname{Im}(x_0) = f(x_0).

Calcular una imatge sempre és directe: només cal substituir.

Exemple 1 — Imatge per fórmula: $f(x) = \log_{3}(x^{2}+1)$

Quina és la imatge de $2\sqrt{2}$? Substituïm:

f(2\sqrt{2}) = \log_{3}\!\bigl((2\sqrt{2})^{2} + 1\bigr) = \log_{3}(8+1) = \log_{3} 9 = 2.

\boxed{\;f(2\sqrt{2}) = 2.\;}

Exemple 2 — Imatge per taula de valors

Una funció ve donada per la taula:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$f(x)$	$3\sqrt{3}$	$3\sqrt{2}$	$3$	$0$	$\tfrac{1}{3}$

Quina és la imatge de $-2$? Mirem la taula:

\boxed{\;f(-2) = 3\sqrt{2}.\;}

Igual que abans: la imatge és única — a la columna del $-2$ només hi ha un valor.

Exemple 3 — Imatge per gràfic

Donat el gràfic següent, llegim les imatges de $0$ i de $-2$ traçant una línia vertical des del valor de $x$ fins a la corba i, des d'allà, una horitzontal cap a l'eix $y$:

Llegim:

f(0) = 2 \qquad\text{i}\qquad f(-2) = 0.

Antiimatge d'un valor

Definició

L'antiimatge d'un valor $y$ són tots els valors de $x$ tals que $f(x) = y$. S'escriu:

f^{-1}(y) = \{\,x \in \operatorname{Dom} f \;\mid\; f(x) = y\,\}.

A diferència de la imatge, una antiimatge pot tenir cap, una o diverses solucions: cal resoldre l'equació $f(x) = y$.

Estratègia

Per calcular $f^{-1}(y)$:

1) Plantejar l'equació $\;f(x) = y\;$ amb $y$ com a dada concreta.

2) Resoldre-la — amb totes les eines de la unitat anterior (polinòmica, racional, exponencial, logarítmica, irracional, etc.).

3) Comprovar que les solucions trobades són al domini de $f$. Les que no, es descarten.

Exemple — Antiimatges de $4$ per $f(x) = x^{2} - 5$

Plantegem $f(x) = 4$ i resolem:

x^{2} - 5 = 4 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{9} = \pm 3.

Les dues solucions són reals i estan al domini ($\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$). Per tant:

\boxed{\;f^{-1}(4) = \{-3,\; +3\}.\;}

Geomètricament, talleu la paràbola $y = x^{2} - 5$ amb la recta horitzontal $y=4$: la talla en dos punts, $x=-3$ i $x=3$.

Imatge vs antiimatge — diferència essencial

Imatge: avaluar — sempre únic resultat.

Antiimatge: resoldre una equació — 0, 1 o més resultats.

Per exemple, amb $f(x) = x^{2} - 5$:

· $\;f^{-1}(-5) = \{0\}$ (una antiimatge: $x^{2}=0$).

· $\;f^{-1}(4) = \{-3,\,3\}$ (dues antiimatges).

· $\;f^{-1}(-10) = \varnothing$ (cap antiimatge: $x^{2} = -5$ no té solució real).

Aplicació — Eficiència d'una empresa

El model: $P(t) = \dfrac{100}{1 + 4\,e^{-0{,}05\,t}}$

El percentatge d'eficiència d'una empresa en funció dels dies $t$ que han passat des del seu inici es modelitza amb la funció anterior. La utilitzarem per veure els tres tipus de càlcul: domini, imatge i antiimatge.

1) Domini. És una funció racional amb denominador $1 + 4e^{-0{,}05t}$. Anul·lem-lo per veure si treu cap valor:

1 + 4e^{-0{,}05t} = 0 \;\Longrightarrow\; 4e^{-0{,}05t} = -1 \;\Longrightarrow\; e^{-0{,}05t} = -\tfrac{1}{4}.

Però una exponencial mai és negativa, així que no té solució — el denominador no s'anul·la mai. A més, físicament $t$ representa un nombre de dies $\geq 0$, així que:

\boxed{\;\operatorname{Dom} P = [0,\,+\infty).\;}

2) Imatges — eficiència inicial i als 20 dies

Quina és l'eficiència inicial? Calculem $P(0)$:

P(0) = \dfrac{100}{1 + 4 e^{-0{,}05 \cdot 0}} = \dfrac{100}{1 + 4 \cdot 1} = \dfrac{100}{5} = 20.

\boxed{\;P(0) = 20\,\%.\;}

I passats 20 dies? Ara $P(20)$:

P(20) = \dfrac{100}{1 + 4\,e^{-0{,}05 \cdot 20}} = \dfrac{100}{1 + 4\,e^{-1}} \approx \dfrac{100}{1 + 1{,}4715} \approx 40{,}46.

\boxed{\;P(20) \approx 40{,}46\,\%.\;}

Els dos càlculs són imatges directes — substituir i calcular.

3) Antiimatge — quin dia s'assoleix el $70\,\%$ d'eficiència?

Ara la pregunta és inversa: cerquem $t$ tal que $P(t) = 70$. Plantegem l'equació:

70 = \dfrac{100}{1 + 4\,e^{-0{,}05\,t}}.

Multipliquem pel denominador i aïllem l'exponencial:

70\bigl(1 + 4 e^{-0{,}05 t}\bigr) = 100 \;\Longrightarrow\; 70 + 280\,e^{-0{,}05 t} = 100 \;\Longrightarrow\; 280\,e^{-0{,}05 t} = 30.

e^{-0{,}05 t} = \dfrac{30}{280} = \dfrac{3}{28}.

Apliquem logaritme neperià als dos costats per "treure" l'exponencial:

-0{,}05\,t = \ln\!\dfrac{3}{28} \;\Longrightarrow\; t = -\dfrac{1}{0{,}05}\,\ln\!\dfrac{3}{28} \approx 44{,}67.

Com que $t$ representa un nombre enter de dies, arrodonim cap amunt — l'eficiència del $70\,\%$ s'assoleix per primera vegada al final del dia 45:

\boxed{\;t \approx 45\;\text{dies}.\;}

L'antiimatge és única perquè $P(t)$ és estrictament creixent: per a cada valor de $y \in (20, 100)$ hi ha exactament un $t \geq 0$.

Exercicis

1 Càlcul d'imatges

Per a cada funció, calcula la imatge demanada. Recorda: només cal substituir i operar.

a) Si $f(x) = 2x - 5$, calcula $f(3)$.

Substituïm $x=3$:

f(3) = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1.

\boxed{\;f(3) = 1.\;}

b) Si $f(x) = x^{2} + 1$, calcula $f(-2)$.

$f(-2) = (-2)^{2} + 1 = 4 + 1 = 5$. Atenció a posar el $-2$ entre parèntesis abans d'elevar al quadrat.

\boxed{\;f(-2) = 5.\;}

c) Si $f(x) = \log_{2}(x+4)$, calcula $f(4)$.

$f(4) = \log_{2}(4+4) = \log_{2} 8 = 3$ (perquè $2^{3} = 8$).

\boxed{\;f(4) = 3.\;}

d) Si $f(x) = \dfrac{6}{x-1}$, calcula $f(4)$.

$f(4) = \dfrac{6}{4-1} = \dfrac{6}{3} = 2$. Comprovem que $4 \in \operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ ✓.

\boxed{\;f(4) = 2.\;}

2 Càlcul d'antiimatges

Calcula totes les antiimatges del valor demanat. Recorda: hi pot haver cap, una o diverses — i cal verificar que les solucions són al domini.

a) Si $f(x) = 3x + 1$, troba $f^{-1}(7)$.

Plantejem $3x + 1 = 7$ i aïllem $x$:

3x = 6 \;\Longrightarrow\; x = 2.

Una sola antiimatge (les funcions afins són sempre injectives).

\boxed{\;f^{-1}(7) = \{2\}.\;}

b) Si $f(x) = x^{2} - 1$, troba $f^{-1}(8)$.

$x^{2} - 1 = 8 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. Les dues solucions són al domini $\mathbb{R}$.

\boxed{\;f^{-1}(8) = \{-3,\;3\}.\;}

c) Si $f(x) = x^{2} + 4$, troba $f^{-1}(0)$.

$x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = -4$, que no té solucions reals.

\boxed{\;f^{-1}(0) = \varnothing\;\;\text{(cap antiimatge).}\;}

Geomètricament: la paràbola $y = x^{2} + 4$ té vèrtex a $(0,4)$ i no toca mai l'eix $y=0$.

d) Si $f(x) = \log(x-1)$, troba $f^{-1}(2)$.

Plantegem $\log(x-1) = 2$. Per la definició inversa del logaritme decimal ($\log = \log_{10}$):

x - 1 = 10^{2} = 100 \;\Longrightarrow\; x = 101.

Verificació: $x = 101$ és al domini ($x - 1 = 100 > 0$) ✓.

\boxed{\;f^{-1}(2) = \{101\}.\;}

3 Aplicació — depreciació d'un cotxe

El valor d'un cotxe (en milers d'euros) en funció dels anys $t$ des de la compra es modelitza amb $V(t) = 24 \cdot 0{,}85^{t}$.

a) Quin és el valor del cotxe a la compra ($t=0$)?

És una imatge: $V(0) = 24 \cdot 0{,}85^{0} = 24 \cdot 1 = 24$.

\boxed{\;V(0) = 24\,000\;\text{€}.\;}

b) Quin és el valor passats 5 anys?

$V(5) = 24 \cdot 0{,}85^{5} \approx 24 \cdot 0{,}4437 \approx 10{,}65$.

\boxed{\;V(5) \approx 10\,650\;\text{€}.\;}

c) Al cap de quants anys el cotxe valdrà la meitat ($12$ mil €)?

És una antiimatge: cerquem $t$ amb $V(t) = 12$.

24 \cdot 0{,}85^{t} = 12 \;\Longrightarrow\; 0{,}85^{t} = \dfrac{1}{2}.

Apliquem logaritme als dos costats:

t \cdot \log 0{,}85 = \log \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{\log(1/2)}{\log 0{,}85} \approx \dfrac{-0{,}3010}{-0{,}0706} \approx 4{,}27.

\boxed{\;t \approx 4{,}27\;\text{anys (entre 4 i 5 anys).}\;}

L'exponencial decreixent $0{,}85^{t}$ és estrictament monòtona, així que l'antiimatge és única.

4 Lectura sobre gràfic

Suposa que el gràfic de $f$ és la paràbola $y = x^{2} - 4$. Respon usant el gràfic com a referència visual (i comprova-ho algebraicament).

a) Quina és la imatge de $-3$?

$f(-3) = (-3)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$.

\boxed{\;f(-3) = 5.\;}

b) Quantes antiimatges té el valor $y = 5$? Calcula-les.

$x^{2} - 4 = 5 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. Dues antiimatges.

\boxed{\;f^{-1}(5) = \{-3,\;3\}.\;}

c) Quantes antiimatges té el valor $y = -4$ (vèrtex)?

$x^{2} - 4 = -4 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$. Una sola antiimatge.

\boxed{\;f^{-1}(-4) = \{0\}.\;}

Geomètricament, la recta $y = -4$ és tangent a la paràbola pel vèrtex.

d) Quantes antiimatges té el valor $y = -5$?

$x^{2} - 4 = -5 \Rightarrow x^{2} = -1$, no té solucions reals.

\boxed{\;f^{-1}(-5) = \varnothing\;\;\text{(cap antiimatge).}\;}

La recta $y=-5$ està per sota del vèrtex de la paràbola: no la talla.