Què és una funció?
Definició
Una funció és una relació entre dues magnituds en què a cada valor de la variable independent ($x$) li associem com a màxim un valor de la variable dependent ($y$). S'escriu:
El "com a màxim un" és la clau: cada $x$ pot tenir un únic valor de $y$ (o cap, si $x$ no és al domini), però mai dos.
Un cotxe a 100 km/h
Un cotxe triga 2 h en fer un trajecte si va a 100 km/h. Quina relació hi ha entre el temps (en hores) i la velocitat (en km/h)?
Si va al doble de velocitat (200 km/h), tarda la meitat (1 h). Si va a la meitat (50 km/h), tarda el doble (4 h). És una proporcionalitat inversa:
| Temps $x$ (h) | $1$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| Velocitat $y$ (km/h) | 200 | 100 | 50 |
El producte $\,x\cdot y = 200\,$ és constant (la distància total). Aïllant $y$:
Domini d'una funció
Definició
El domini d'una funció $f$ és el conjunt de tots els valors de $x$ per als quals $f(x)$ té sentit (està definida). En notació de conjunts:
Tornem al cotxe: $f(x) = \dfrac{200}{x}$
Aquesta funció té sentit per a qualsevol $x$ excepte $x = 0$ (no es pot dividir per zero). A més, com que $x$ representa un temps, físicament només té sentit $x > 0$ — però matemàticament:
Càlcul de dominis
Estratègia: dues preguntes
1) Quin tipus de funció és?
2) Quan té sentit aquesta funció?
Identificat el tipus, apliquem la condició de domini que li correspon. Els casos típics:
| Tipus de funció | Condició de domini |
|---|---|
| Polinomi $P(x)$ | Sempre — $\operatorname{Dom} = \mathbb{R}$ |
| Racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ | $Q(x) \neq 0$ |
| Arrel parell $\sqrt[2k]{P(x)}$ | $P(x) \geq 0$ |
| Logaritme $\log_a P(x)$ | $P(x) > 0$ (estricte) |
| Exponencial $a^{P(x)}$ | Sempre — $\operatorname{Dom} = \mathbb{R}$ |
Exemple 1 — Logaritme d'un polinomi
$f(x) = \log(3x - 1)$
És el logaritme d'un polinomi. Cal que l'argument sigui estrictament positiu:
Exemple 2 — Funció racional
$f(x) = \dfrac{3x}{x^{2} - 4}$
És una funció racional. Cal que el denominador sigui diferent de zero:
Aquests dos valors es treuen del domini.
Exemple 3 — Arrel d'un quocient de polinomis
$f(x) = \sqrt{\dfrac{x-3}{x^{2}-4}}$
Hi ha una sola arrel i a dins un quocient. La condició és radicand $\geq 0$ i, a més, denominador $\neq 0$:
Mètode dels signes. Trobem els zeros del numerador i del denominador per tenir els punts de canvi:
Numerador $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Denominador $x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ (forats!).
Aquests tres punts parteixen la recta en quatre intervals; analitzem el signe a cada un:
| Interval | $x-3$ | $x^{2}-4$ | $\dfrac{x-3}{x^{2}-4}$ |
|---|---|---|---|
| $(-\infty,\,-2)$ | − | + | − |
| $(-2,\,2)$ | − | − | + |
| $(2,\,3)$ | − | + | − |
| $(3,\,+\infty)$ | + | + | + |
Volem $\geq 0$ → ens quedem amb les files marcades +: $(-2, 2)$ i $(3, +\infty)$. A més, $x = 3$ també hi entra perquè el quocient val $0$ allà i $0 \geq 0$ ✓. En canvi, $x = \pm 2$ no hi entren (denominador zero).
Exemple 4 — Quocient de dues arrels
$g(x) = \dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x^{2}-4}}$
Aquí l'expressió "sembla la mateixa" que a l'exemple anterior, però ara hi ha dues arrels separades: una al numerador i una al denominador. Cada arrel ha de tenir el seu propi domini, i a més la del denominador no pot ser $0$ (perquè aleshores el quocient seria indefinit).
Condició 1 — l'arrel del numerador: $\;x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \in [3, +\infty)$.
Condició 2 — l'arrel del denominador, amb desigualtat estricta: $\;x^{2} - 4 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
El domini és la intersecció de tots dos conjunts:
(Perquè $[3, +\infty)$ ja està del tot dins de $(2, +\infty)$.)
Compte: $\sqrt{A/B}$ no és el mateix que $\sqrt{A}/\sqrt{B}$ pel domini
Comparem els exemples 3 i 4:
· $\;f(x) = \sqrt{\dfrac{x-3}{x^{2}-4}}\;\Rightarrow\;\operatorname{Dom} f = (-2, 2) \cup [3, +\infty)$.
· $\;g(x) = \dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x^{2}-4}}\;\Rightarrow\;\operatorname{Dom} g = [3, +\infty)$.
La identitat $\sqrt{A/B} = \sqrt{A}/\sqrt{B}$ només és vàlida quan tots dos costats estan definits. A $f(x)$, l'interval $(-2, 2)$ encara és vàlid perquè el quocient $\frac{x-3}{x^{2}-4}$ és positiu allà (un negatiu dividit per un negatiu): podem fer-ne l'arrel. Però a $g(x)$ no podem ni tan sols arribar-hi: la $\sqrt{x-3}$ ja exigeix $x \geq 3$ pel seu compte.
Exemple 5 — Exponencial d'un polinomi
$f(x) = 3^{5x+1}$
L'exponencial està definida per a qualsevol exponent real; l'expressió $5x + 1$ és un polinomi i no té cap restricció de domini. Per tant:
Exercicis
Calcula el domini de les següents 21 funcions. Estan ordenades de més senzilles (polinomi, log, racional, arrel) a més complexes (quocients amb arrels, arrels de quocients i tres funcions definides per peces). Cada apartat porta la solució amagada — intenta-la primer i després desplega-la.
$f_{1}(x) = -3x^{2} + 12$
Mostrar solució
És un polinomi: està definit per a tot $x \in \mathbb{R}$.
$f_{2}(x) = \ln(3x+1)$
Mostrar solució
Logaritme d'un polinomi. Cal $\,3x+1 > 0$:
$3x > -1 \;\Longrightarrow\; x > -\tfrac{1}{3}$.
$f_{3}(x) = \dfrac{5}{x}$
Mostrar solució
Funció racional: cal denominador $\neq 0$, és a dir $x \neq 0$.
$f_{4}(x) = \sqrt{3x+2}$
Mostrar solució
Arrel parell: cal $\,3x+2 \geq 0$:
$3x \geq -2 \;\Longrightarrow\; x \geq -\tfrac{2}{3}$.
$f_{5}(x) = \sqrt[5]{2x+1}$
Mostrar solució
Arrel d'ordre senar (5): no té cap restricció sobre el radicand. Està definida per a tot $x \in \mathbb{R}$.
$f_{6}(x) = \dfrac{(x-1)(x-2)}{x+1}$
Mostrar solució
Racional: cal denominador $\neq 0$, és a dir $x+1 \neq 0$ → $x \neq -1$.
$f_{7}(x) = \dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}$
Mostrar solució
Racional: cal $x - 1 \neq 0$ → $x \neq 1$.
Encara que algebraicament $\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2$ per $x \neq 1$, l'expressió original no està definida a $x = 1$ (un "forat" o discontinuïtat evitable).
$f_{8}(x) = \dfrac{\sqrt{x+3}}{x+1}$
Mostrar solució
Cal: arrel del numerador definida ($x+3 \geq 0$) i denominador $\neq 0$ ($x+1 \neq 0$):
$x \geq -3 \;\;$ i $\;\; x \neq -1$.
$f_{9}(x) = \dfrac{x+4}{\sqrt{2x+6}}$
Mostrar solució
L'arrel és al denominador: cal $2x+6 > 0$ (estricte, perquè denominador no pot ser zero):
$2x > -6 \;\Longrightarrow\; x > -3$.
$f_{10}(x) = \dfrac{2}{x^{2}+1}$
Mostrar solució
Denominador $x^{2}+1 \geq 1 > 0$ per a tot $x$ — mai s'anul·la.
$f_{11}(x) = \dfrac{2}{x^{2}-1}$
Mostrar solució
Cal $x^{2} - 1 \neq 0$, és a dir $x \neq \pm 1$.
$f_{12}(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-3}}$
Mostrar solució
Cada arrel té el seu domini, i la del denominador estricta $> 0$:
Numerador: $x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$.
Denominador: $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$.
Intersecció: $x > 3$ (perquè $(3, +\infty) \subset [-2, +\infty)$).
$f_{13}(x) = \dfrac{\sqrt{x^{2}-16}}{5x+1}$
Mostrar solució
Cal: $x^{2}-16 \geq 0$ (arrel) i $5x+1 \neq 0$ (denominador).
$x^{2} \geq 16 \Rightarrow x \leq -4$ o $x \geq 4$. Per altra banda, $x = -\tfrac{1}{5}$ ja és dins de $(-4, 4)$ — fora del domini de l'arrel — així que no afegeix nova restricció.
$f_{14}(x) = \sqrt{\dfrac{2x+4}{x-3}}$
Mostrar solució
Cal $\dfrac{2x+4}{x-3} \geq 0$ i $x-3 \neq 0$. Arrels: numerador $x = -2$, denominador $x = 3$ (forat). Mètode dels signes:
| Interval | $2x+4$ | $x-3$ | quocient |
|---|---|---|---|
| $(-\infty,\,-2)$ | − | − | + |
| $(-2,\,3)$ | + | − | − |
| $(3,\,+\infty)$ | + | + | + |
$\geq 0$ → $(-\infty, -2] \cup (3, +\infty)$. $x=-2$ inclòs (quocient $= 0$); $x=3$ exclòs (denominador $= 0$).
$f_{15}(x) = \sqrt{\dfrac{2x+4}{x^{2}-4}}$
Mostrar solució
Cal $\dfrac{2x+4}{x^{2}-4} \geq 0$ i $x^{2}-4 \neq 0$ (és a dir $x \neq \pm 2$). Factoritzem: $\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}$.
Per $x \neq -2$ podem simplificar a $\dfrac{2}{x-2}$. Per $x = -2$ la funció no està definida (denominador zero, encara que el numerador també).
Així, per $x \neq \pm 2$, cal $\dfrac{2}{x-2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.
$f_{16}(x) = \sqrt{\,-\dfrac{x-4}{3x-9}\,}$
Mostrar solució
Cal $-\dfrac{x-4}{3x-9} \geq 0$, és a dir $\dfrac{x-4}{3(x-3)} \leq 0$, i $x \neq 3$.
Arrels: $x = 4$ (numerador), $x = 3$ (denominador, forat). Signes de $\dfrac{x-4}{x-3}$:
| Interval | $x-4$ | $x-3$ | quocient |
|---|---|---|---|
| $(-\infty,\,3)$ | − | − | + |
| $(3,\,4)$ | − | + | − |
| $(4,\,+\infty)$ | + | + | + |
Volem $\leq 0$ → $(3, 4]$. ($x=3$ exclòs per denominador, $x=4$ inclòs perquè el quocient és $0$ i l'arrel és $\sqrt{0} = 0$.)
$f_{17}(x) = \ln(x^{2}+4)$
Mostrar solució
Cal $x^{2}+4 > 0$. Però $x^{2} \geq 0$ sempre, així que $x^{2}+4 \geq 4 > 0$ per a tot $x$.
$f_{18}(x) = \sqrt{x^{2}-4}$
Mostrar solució
Cal $x^{2}-4 \geq 0$, és a dir $x^{2} \geq 4$, és a dir $|x| \geq 2$.
$f_{19}(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x-4} & x > 5 \\[0.4em] \ln(-3x+20) & x < 5 \end{cases}$
Mostrar solució
Estudiem cada branca al seu interval:
· Per $x > 5$: $x - 4 > 1 > 0$, ja és $\neq 0$. Tot el tros vàlid: $(5, +\infty)$.
· Per $x < 5$: cal $-3x + 20 > 0 \Rightarrow x < \tfrac{20}{3} \approx 6{,}67$. Com $x < 5 < \tfrac{20}{3}$, tot el tros vàlid: $(-\infty, 5)$.
· A $x = 5$: cap branca el cobreix (les dues són estrictes).
$f_{20}(x) = \begin{cases} \sqrt{x+1} & x > 0 \\[0.4em] e^{-x} & x < 0 \end{cases}$
Mostrar solució
· Per $x > 0$: $x + 1 > 1 > 0$ — l'arrel sempre definida. Tot el tros vàlid: $(0, +\infty)$.
· Per $x < 0$: l'exponencial $e^{-x}$ està definida sempre. Tot el tros vàlid: $(-\infty, 0)$.
· A $x = 0$: cap branca el cobreix.
$f_{21}(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-4} & x < -1 \\[0.5em] \sqrt{3x+3} & -1 \leq x < 2 \\[0.4em] \ln(3-x) & 2 \leq x \end{cases}$
Mostrar solució
Tres branques:
· Per $x < -1$ (1a branca): cal $x^{2}-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. Dins de $(-\infty, -1)$ això tan sols treu $x = -2$. Vàlid: $(-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.
· Per $-1 \leq x < 2$ (2a branca): cal $3x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. Es compleix per tot l'interval. Vàlid: $[-1, 2)$.
· Per $2 \leq x$ (3a branca): cal $3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$. Combinant amb $x \geq 2$: vàlid $[2, 3)$.
Unió: $(-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup [-1, 2) \cup [2, 3) = (-\infty, -2) \cup (-2, 3)$.